Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
9,7-10*
где /д (г) — нормальная плотность распределения вероятностей для R, задаваемая выражением
fa Сг) = [1/(2я)>/2-1000] ехр [— (г - 105)2/2-106].
Интеграл в (2.51) может быть выражен через нормированную нормальную функцию распределения Ф, как показано в разд. 2.5. Поэтому
рс = ф[(10,1-104 - 106)/103] — Ф [(9,7 • 104 — 105)/103] =
= Ф (1) - Ф (—3) = Ф (1) - [1 - Ф (3)].
Используя таблицы приложения Г, получим
Рс = 0,8413 — [1 — 0,9987] = 0,8400.
Итак оказывается, что, даже если резисторы берутся из партии, в которой сопротивления отличаются от номинальных, вероятность того, что точность прибора будет лежать в заданных пределах, все равно остается большой.
Еще один пример посвящен приложению понятий условной вероятности. Рассмотрим измерительную систему для транспортного потока, определяющую скорость каждого автомобиля на
e) Т. е. ошибка в показаниях вольтметра из-за разброса сопротивлений резисторов не будет превосходить 1/50 от максимального показания шкалы прибора.
автостраде и регистрирующую те, скорость которых превышает заданный предел, равный 70 км/ч. Определим математическое ожидание превышения скорости в предположении, что она подчиняется распределению Рэлея с наиболее вероятным значением 50 км/ч. Это эквивалентно нахождению условного математического ожидания скорости автомобиля при условии, что произошло превышение указанного предела, с последующим вычитанием его из найденного значения.
Обозначая скорость через V, запишем искомую условную функцию распределения вероятностей как
F[v |У>70] = Р{У<и, V >70}/Р \V >70}. (2.52)
Рис. 2.25. Условная и обычная рэлеевские плотности распределения вероятностей.
Поскольку числитель этого выражения отличен от нуля только при v > 70, оно может быть переписано в виде:
ГО, i><70,
F [V | V > 70] = j [р ^ __ р (7(щ} _ р (70)]> v > 70) (2-53)
где F (v) — функция распределения вероятностей случайной ве-
личины V. Числитель дроби в выражении (2.53) — это вероятность события {v V <; 70}, а знаменатель — {К > 70}.
Дифференцируя (2.53) по и, найдем искомую условную плотность вероятностей
ГО, v < 70,
/ (о | V > 70) = | f(t>)/ll_F(70)]j и>70>
где /(и) — плотность вероятностей распределения Рэлея, имеющая вид
... Г (и/502) ехр (—и2/2 • 502), и>0,
?(») = ( 0, и<0. (2'54>
Графики этих двух функций представлены на рис. 2.25. Величина F (70) легко определяется из (2.54):
70
F (70) = j (и/502) ехр (—о2/2-502)dv = 1 — ехр (—49/50).
о
Следовательно,
1 — F (70) = ехр (—49/50).
Условное математическое ожидание есть
оо
Е [V | V > 112] = [ехр(—49/50)] j (о2/502) ехр (—гЯ/2 • 502) dv =
112
= 70 + 50 (2я)>/2 [ехр (49/50)] [ 1 - Ф (7/5)] 70 + 27,2 км/ч.
Итак, условное математическое ожидание превышения скорости равно 27,2 км/ч. Хотя из полученного результата понятно, что рэлеевская модель не очень хорошо подходит для рассматриваемой ситуации (поскольку превышение скорости на 27,2 км/ч слишком велико для реальности), приведенный пример дает представление о способе, обычно применяемом при определении условных моментов.
В последнем примере совместно рассматриваются концепции дискретной вероятности и непрерывных случайных величин в приложении к задачам, с которыми приходится сталкиваться при разработке спутниковых систем связи. В такой системе обычно используются несколько ламп бегущей волны, установленных на борту спутника, чтобы обеспечить работу на нескольких каналах, а также удлинить срок службы системы путем повышения надежности на случай выхода из строя части установленных ЛБВ. Предположим, что на спутнике должно использоваться 6 ЛБВ и нужно, чтобы после 5 лет службы вероятность исправной работы хотя бы одной ЛБВ составляла 0,95. Таким образом, нужно определить среднее время наработки на отказ для одной ЛБВ, позволяющее достичь заданной степени надежности. Для этого необходимо воспользоваться некоторыми результатами рассмотрения в разд. 1.10 схемы Бернулли. Пусть в нашем случае k — количество исправных ЛБВ в произвольный момент времени, а р — вероятность исправности любой ЛБВ. Поскольку требуется, чтобы вероятность того, что исправна хотя бы одна лампа, равнялась 0,95, то Р (k 1) = 0,95 или 6
2 Ре (k) = 1 - р6 (0) = 1 - ( I ) р° (1 - р)° = 0,95.
fc= I
Решив последнее уравнение, получим, что р = 0,393. Если сделать обычное предположение об экспоненциальном законе распределения срока т службы любой из ЛБВ, то
оо
j (1/Т) ехр (—%/Т) dx = 0,393, Т = 5,353.
Таким образом, чтобы обеспечить необходимую надежность, среднее время наработки на отказ для каждой из ЛБВ должно превышать 5,353 года.
