Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
В этом же смысле отлично векторное поле от поля директора. Директор отличается от вектора отсутствием ориентации. Поэтому изменения локального порядка — отмена ориентации векторов — сразу же меняет интегральный порядок поля. Это видно из определения гауссового отображения (рис. 17).
РЛС, 17. Гауссово, отображение /: М -S
Пусть к точкам многообразия М прикреплены вектора. Тогда каждой точке х м ставится в соответствие та точка фиксированной стандартной сферы S*, на которую унизывает при крепленный к х вектор при параллельном переносе его в центр этой сферы. Если вместо векторов к точкам многообразия прикреплены отрезки, тогда имеем отображение М в иеорнеитируемую поверхность — проективную плоскость (сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками) / : М -*¦ (R(p 2
S'
Г
РЛС. 18. Обтека й не диска
РЛС. 10. Деформации ноля движения жидкости диска
при оптекапни
У большого числа динамических систем имеется и другой любопытный интегральный порядок — хаотический аттрактор, который является фрактальным объектом.
Пространственно-временные поля. На простом примере обтекания диска (рис. 18) (или даже шара) жидкостью Продемонстрируем указанные ноля. (Отот пример пригодится и для гл. \ 11.) Рассмотрим двумерную сферу как комплексную плоскость, пополненную бесконечно удаленной точкой S = С. диффеоморфизм между которыми уста-ается с андартпой стереографической, проекцией. 1 ассмотрим далее на сфере функцию Жуковского z+(1/s)
it поло/кпм f{x, ;r/)=Re(z+( \/z)) в коночном части плоскости. L)Ta функция и описывает нужное нам движение жидкости. I fa рис. 18 показаны ее интегральные траектории, т. е. траектории векторного поля grad /. При этом им< ются три особые точки: два седла и полюс первого порядка в центре. Заметим, что эта функция есть единственное аналитическое продолжение функции, описывающей картину обтекания диска вовнутрь диска. 13 этом смысле i юбое аналитическое продолжение носит позиционный характер.
Устроим теперь деформацию функции следующего лнда /<=Re(z+ (t/z)) и получим, что сенаратрнснан диаграмма потока grad/, (т. е. совокупность интегральных траекторий, соединяющих особые точки) деформируется но плоскости и, наконец, сжимается в одну точку, в которой все три особонпостп. взаимодействуя, уничтожают друг друга. В результате (при Z=0) мы получаем гладкую функцию Re(z)=;r, вообще не имеющую никаких особых точек в конечной части плоскости (R2 и имеющую полюс первого порядка в бесконечно удаленной точке, т. е. на северном полюсе сферы S2 (рис. 19). Итак, локальный порядок здесь — это определение временной зависимости grad ft. Интегральный порядок перестройки векторного ноля) зависит от локального порядка, эта зависимость и есть позиционная связь в данном случае.
Обобщающая концепции
При водимое обобщение — стандартная .математическая конструкция. 11так, рассмотрим абстрактное построение пространственных полей. Пусть 1/— топологическое пространство и р: Е-+М—расслоение. Сечением расслоения р: Е-*-М называется такое отображение \[: Л/-*/:, что /л|з(.г) —х для любой точки х^М. Таким образом, сечения — :)то функций поли) \|> х) на N принимающие 11 тонко
х^М значении it слое !'х над х. Сечения тривиального расслоения /;: А/Х/*’—Л/ — :>то обычные скалярные функции или отображения базы в слой F.
Пусть т — касательное расслоение некоторого многообразия М, т. е. совокупность касательных плоскостей к М. Тогда сечение расслоения т — это векторные поля.
Не останавливаясь более подробно на расслоениях, приведем еще одну конструкцию, которая делает яснее нашу основную идею и содержит в себе конструкцию расслоения.
Пусть М - пространство, покрытое открытыми обла-мп иа, U Un=M. Будем требовать, чтобы покрытии
стями
а
{I'J было «локально конечным» (т. е. пересекаться могут только конечные наборы областей Ua) •
Определение.
а) Предпучком F называется соответствие (контрава-риантный функтор), которое каждой области ?7<=М сопоставляет абелеву группу (кольцо, поле) треоуется, чтобы вложению U<=V соответствовал гомоморфизм «ограничения»
lav' Fy-^-Ftj-
Если U<=-V<=-W, то iuw—iuvivw. Предпучок F определяет предпучок F, па любой области U<=-M. Элементы Fv называются сечениями предпучка F.
б) Предпучок F называется пучком, если он обладает следующими свойствами.
Пусть область U представлена в виде объединения областей Ua
U=\JUa.
а
Тогда, если Si/ai/(/)=0 для всех а, то элемент f<^Fa должен быть нулем.
У любой точки имеется некоторая достаточно малая окрестность t/, такая, что пабор «согласованных» элементов fa^FUa представляет собой совокупность ограничений
одпого общего элемепта f^Fv. Здесь
U=[jUa,
а
(М = ‘и?>аиа (fa.), ] (/) = fa
(«согласованность»).
Пустому множеству 0 всегда соответствует нуль: F0=Q.
Грубо говоря, лучок — это предпучок, сечения которого определяются локально. Понятие пучка дает систематический спосоо согласования локальных алгебраических дан-пьтх па топологическом пространстве. Пипрпмер, конструкция пучка перерабатывает локальный порядок покрытия {Uni пространства M=\jUa в когомологии покрытия с коэффициентами в предпучке H*(N(Ua), F). Далее возникает и интегральный порядок самого прострапства М при взятии предела спектра всех покрытий пространства Ы —
