Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
Насколько данное нами определение коиструктн впо? Есть ли поля, которые мы in* можем отнести к категории морфогенетических? Для разрешения этих сомнении об
ратимся к примерам.
Принятая памп терминология аналогична физической. Для твердых тел и жидкостей упорядоченность па межатомном расстоянии называется ближним порядком: упорядоченность, повторяющаяся па неограниченно больших расстояниях. называется дальним порядком, взаимное расположение частиц описывается координационным (позиционным) порядком, а упорядоченность в ориентации молекул — ориентационным порядком. ')то не совсем то, с чем в действительности мы будем иметь дело, но близко нашей общей идее соотношения локального п интегрального по рядков. «Являются .'in силы, обусловливающие правильность строения кристалла, дальподействующпмп пли правильные структуры определяются силами взаимодействия между ближайшими соседями? Ответ па зтот вопрос имеет решающее значение для понимания самого существования кристалла» (Галиулин, Сенешаль. 1980. с. 2\2). «С геометрической точки зрения локальные силы можно описывать. задав свод правил, по которым единица пли группа единиц может войти в ткань развивающегося узора. I! простейших случаях (например, для правильных узоров) ло-ка. ьные силы можно описать при помощи операций сим мегрпи нлп символов смежности. И более сложных случаях единица может «самостоятельно» принимать решения в зависимости от локальных условий. М подобных* случаях фавила построения приводят к возникновению сложных высокоорганизованных узоров л к математическим системам. ныть может, более общим, чем группы симметрии.
зучеппе процессов возникновения узоров но локальным
* 1ам пррдпспинет собой одну пз наиболее важных
проблем современном теории симметрии и находит г.а.кные применении по многих областях науки, наирпмер и теории роста кристаллов и и биологии» (Там же. г. 247). гп акторы утверждают, что с точки зрении геометрии правильность кристаллической структуры определяется взаимодействием между ближайшими соседями, т. е. локально. Другими словами, крупномасштабная форма является проявлением локальных (U.I. *Мо парнд1мма со в ре ме п и ой кристаллографии.
Мы надеемся, что краткий экскурс в кристаллографию убедил читателя к том. что исследование взаимосвязи локальных и глобальных аспектов морфогенеза безусловно достой по изучения. Л для того чтобы стала понятной позиционная сторона наших определений, перейдем к* чисто математическим примерам, которые просты, хрестоматин-ИЫ и взяты памп из университетских учебников (Арнольд. 1974. H)7(S. 1984; Фоменко. I98.J. 1984; Дубровин и др.. 1984. 1980; см. также: Пресной, Исаева. 1987).
Скалярные поля
}Дискретные пространственные поля. Пространственные решеточные задачи теории протекания (перколяции).
Рассмотрим двумерную целочисленную решетку Z2 как* совокупность узлов и с вязей. Пусть вероятность окраски каждого узла данной решетки в черный цвет равна р. Совокупность связанных друг с другом черных узлов будем называть черным кластером. При /;=0 в системе нет черных кластеров, при /?< I черные кластеры представляют собой в основном совокупность малого количества узлов — одиночные узлы, пары, тройки и т. д. С другой стороны при р=1 все узлы черные, при 1— р< 1 к системе имеется оескопечиый кластер. При некотором критическом значении р=рс происходит переход от одного режима к другому, т. е. впервые возникает бесконечный кластер и значит имеет место протекание — непрерывный путь но решетке, не содержащийся в конечной части зтой решетки. Анало гичны.м образом формулируется и задача связей задача, к которой каждая связь помечается с вероятностью р и точно так* же кластер определяется ка к совокупность узлов, соединенных помеченными связями (рж. *0 («.м..
Лайман, 1982; Соколов, 1980).
Образование бесконечного кластера есть фазовый riept *од. И теории протекания имеется основная теорема, для
РИС. (J. ГГротекапне по решет-
I Ч‘
I 1 1 1 1 I I 1 П I I I п
а — задача узлов (показан путь . протекании); б — задача связей
t 1 И t 1 1 1 t И И I I (путь протекания сквозь указан-
ный блок отсутствует)
II и m i \ и I i 11
tltJ tJtltltltlt РИС. К). Модель Изипга
< « I а а I 4 *. | л к I л а I Состояние конфигураций спинов;
lIlTTilllTlJTlJ' изменение доли частиц со спином,
направленным вверх (СоеЬо et al.
tttt ftttttttltt 1087a)
не ex значении вероятность того, что данным узел принадлежит бесконечному кластеру, равна нулю.
Определим в зтой ситуации функцию, которая сопоставляет каждому узлу 0, если он иеокрашен, и I, если оп окрашен в черный цвет. Вероятность р окраски узла в черный цвет следует считать локальным порядком, а факт наличия или отсутствия бесконечного кластера — интегральным порядком. Видно, что в пашен ситуации имеется пространственное морфогенетическое поле. Позиционной информацией здесь является теорема о существовании критической вероятности и фазового перехода.
