Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка):
неоднозначно! Пример явном неоднозначности - оораще-нне нулевого поля. II вообще можно указать множество конфигурации, которые на следующем шаге необратимо исчезают. Однако мы не может указать аналитическую позиционную связь между локальным и интегральным порядками данного поля. Тем не менее известно, что конфигурации. не обладающие вначале симметрией, обнаруживают тенденцию к переходу в симметричные формы. Обретенное свойство симметрии в процессе дальнейшего морфогенеза не утрачивается, а симметрия конфигурацн i лишь обогащается (Гарднер. 1088). II тогда новоявленную симметрию следует принять за сопряженность локального п интегрального и оря д ко и или за позиционную информацию морфогенетического поля игры «жизнь».
Непрерывные пространственные ноля. Любая непрерывная числовая функция па отрезке — пример такого ноля. Локальный порядок итого ноля — определение функции /: [а, b]-*¦ (R1. Интегрирование функции на отрезке
[а. 6] приводит к построению интегрального порядка нашего поля. Сам процесс интегрирования — :»то процесс передачи позиционной информации от локального порядка к интегральному. Имеется п очень естественная позиционная теорема — формула Ньютона—Лейбница:
ь
^ / (hr — F (b) — ]<’ («), V = /,
(I
связывающая локальные и интегральные порядки нашего поля. 11 хотя первообразная функции / — функция h определена с точностью до произвольной константы, это не у маляе I факта позиционной связи. Г> многомерном случае следует использовать теорему Стокса для дпффе-] еициальиых форм на многообразиях.
Указанные^непрерывные пространственные поля являются таким образом и морфогенетическими нолями. По если качес!в скалярного поля мы выберем неиптегрп-р\ем\ ю функцию, го позиционная связь п, значит, морфогенетическое поле не имеют место. А у непрерывных скалярных полей могут быть и другие позиционные связи.
гаУсг,овая кривизна через посредство теоремы
fi и Спм f ,10(’ ^’РФ^гепет и чес кое поле
(Г . иг |,, Н 14). Интегральны,- порядки в :,тнх примерах
*' '1,,Ы ' локалпорядками черев зплерову чарак-
РЛС. 13. Поверхности с постоянными полями гауссовой кивизпы
К=КгК2
а — сфера К — const >0; б — псевдосфера К — const <0; в — плоскость К — 0
РЛС. 14. Поверхности с нулевыми полями средней кривизны K=Ki+K2
а — два диска; б — устойчивый катеноид; в •— неустойчивый катеноид
РЛС. 15. Волповая мехапо-хп-мическая модель формирования эпителиальных плакод (Osier, Odell, 1984)
РИС. 10. Функция высоты для тора
Отмечены критические точки индексов 0; 1; 2
2 G. н. Исаева, Е. В. Преснов
33
теристику, которая инвариантна (оиладает с им мои рией)
<itиогитолыю группы непрерывных иреоПразсшанпн.
Более сложным будет пример из теории физических структур 10. П. Кулакова (см.: Мнхайличенко, 108Л). Ос-ironiioii ее принцип (феноменологическая симметрия) заключен и том. что и пространстве между всеми взаимными расстояниями для определенного числя произвольных го-чек имеется некоторая функциональная связь. Др\ гимн словами, например для скалярного ноля о: У1/ХЛ/ *1R взаимные расстояния (локальный порядок) между точками /. /<=Л/ удовлетворяют для определенного набора cii} условию Ф ({".;}) =0 (позиционная ппформация). Последнее определяет глобальную геометрию п топологию пространства М. Так, познцпопиая информация для взаимных расстояний между любыми четырьмя точками: «объем тетраэдра. натянутого па эти точки, равен пулю», определяет структуру двумерной евклидовой плоскости К .
Непрерывные пространственно-временные поля. Пусть Т — распределение температуры в некоторой области, т. е. задано отображение Т: Л/-> [R1. Тогда локальный порядок* этого прострапствсппо-времепнбго поля есть закон теплопроводности, т. е. уравнение теплопроводности
дТ =«2A7’ + F.
dt
11птегральпый порядок своим проявлением обязан глобальному пространственно-временному распределению температуры, т. е. это решение, пли интеграл уравнения теплопроводности. Позиционная информация — это процесс интегрирования таких уравнении.
Кстати, математически уравнение теплопроводности, описывающее перенос энергии, аналогично уравнению диффузии, описывающему перенос массы. Математические модели морфогенеза широко используют именно такие уравнения — например, модели реакционно диффузионного типа (Turing, Н)Г>2; Meinhardl. 1; Келппцев, 1983; см. также рис. 15). Решение (интеграл) таких уравнении называют диссипативными структурами. Таким образом, диссипативные структуры — интегральный порядок соответствующих полей. А позиционная информация предоставляет нам эти решения по локальному порядку — закону диффузии. Раздел пауки, занимающийся исследованием диссипативных структур, сейчас называют вслед за немецким физиком Хакепом (1080) синергетикой.
Соитие!ствеино можно трактовать любое эволюционное
Уравнение математической ifjif mf.u: интегральным норя.1 ьом уравнения Коргевега—до Фриза будет, например. го
ЛИТОН.
Векторные поля
Пространственные ноля. Самый простой пример такого поля ото. пожалуй, потенциальное или градиентное поле, н ропзводпое от скалярной» пространственного поля. А именно каждой дифференцируемой функции (скалярному полю) на римаиовом многообразии можно сопоставить вскторпое поле grad /, задающееся в локальных коорди-иатах (.€{) вектором частных производных {Oj/dxt)m Траек-тории поля grad /. как известно, перпендикулярны (в данной римаиовой метрике) линиям уровня функции / (см. рис. 2, а). Эти траектории представляют собой линии паи-скорейшего спуска.
