Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Исаева В.В. -> "Топологическое строение морфологических полей" -> 12

Топологическое строение морфологических полей - Исаева В.В.

Исаева В.В., Преснов Е.В. Топологическое строение морфологических полей — М.:Наука , 1990. — 256 c.
ISBN 5-02-005337-6
Скачать (прямая ссылка): topologicheskieis1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 98 >> Следующая

Для того чтобы сделать этот пример более интересным, рассмотрим не любые функции, а так называемые функции Морса, которых, впрочем, вполне достаточно — они плотны в пространстве всех функций. Функция Морса, по определению, есть такая функция, критические точки которой невырождены (т. е. и тех точках х^М. где df=О форма d2j невырождена). Наглядное представление о функциях Морса дает функция высоты (рис. I(j).
Функции Морса интересны именно своими критическими точками. Согласно лемме Морса в любой точке существуют такие локальные координаты, в которых функция / запишется в виде
/ (%) = — —‘ З о — • • • — .Т? -f Хулх + . . . + Хп*
Число отрицательных ь*вадратов А называется индексом критической точки (см. рис. 16). Доказывается, что индекс не зависит от способа выбора локальных координат. Ло определению, К 0.
Обозначим через р>.(/) число критических точек индекса Л функции Морса /. Оказывается, что альтернированная сумма этих чисел
}.>о
совпадает с эйлеровой характеристикой многообразия Х(М). В том случае, когда многообразие — двумерная поверх иость (//=2), альтернированная сумма становится
совсем краткой и выражается через род поверхности (тоо-рома Эйлера)
Ро
—Mi+H2=2—2 р.
В силу топологической инвариантности эйлеровой характеристики написанная альтернированная сумма не зависит от функции Морга / и, более того, она топологически инвариантна. Итак, любая функция Морса определяет топологию всего многообразия, так как позволяет черел (.вон внутренние свойства вычислить топологический род (в случае //=2) этого многообразия. Иначе говоря, то, что локально может варьироваться в широких проделах, тем не менее определяет глобальные свойства многообразия.
Указанные локальные и глобальные аспекты скалярных пространственных полей, определяемых функциями Морса, переносятся автоматически и на их векторные аналоги. Действительно, критические точки функции есть не что иное, как особые точки векторного поля grad /, т. е. те точки, в которых grad /=0. Для каждой точки многообразия с заданным на нем векторным полем индекс определяется как число оборотов вектора поля при обпосо его по достаточно малой окрестности вокруг этой точки против часовой стрелки. В особой точке Si векторного поля grad / ее индекс j и индекс ее как критической точки функции / связаны соотношением /=(*—1)\ И тогда теорема о сумме индексов для функции Морса превращается в соответствующую теорему о сумме индексов векторного поля (обратите внимание на ее позиционный характер)
^ indS; = у (М).
«Б^еМ
Заметим, что эта теорема справедлива не только для потенциального поля grad/, но л для произвольного век-торного поля.
Векторные ноля появляются и из другой конструкции: пусть М-+М однонараметрнческая группа диффеоморфизмов (или фазовый поток) гладкого многообразия М. Фазовый ноток g‘ имеет естественный локальный порядок — векторное иоле фазовой скорости
v(x) =-jf t=o (g'x), x e M.
Это векторное поле задает дифференциальное уравнение
х=у(г).
л
Интегральный порядок итого поли вытекает из юории дифференциальных уравнении, которая на основании ло кального закона эволюции x=v(z) позволяет восстановить прошлое п предсказать будущее, т. е. проинтегрировать уравнение. Таким образом, формулировка какого-нибудь закопа природы в виде дифференциального уравнения сводит любую задачу об эволюции процесса (физического, химического, экологического и т. д.) к геометрической задаче о поведении фазовых кривых данного векторного поля в соответствующем фазовом пространстве. Однако, вообще говоря, не всякое гладкое векторное поле является нолем фазовой скорости потока, по па компактном многообразии гладкое векторное поле всегда определяет фазовый поток. Позиционной теоремой для векторного поля па компактном многообразии будет и теорема о структурной устойчивости этого поля (динамической системы). Такие теоремы доказаны для сферы я тора.
У векторного поля есть еще один локальный порядок его симметрии, т. е. такие диффеоморфизмы g: М--Л/, которые переводят это поле само в себя: g.u=v. Фазовые кривые векторного поля под действием симметрии этого поля переходят друг в друга (то же и для поля направлении и их интегральных кривых). Группа симметрий данного поля позволяет явпо интегрировать соответствующие дифферепцпальные уравнения.
Последнее замечание позволяет нам подчеркнуть односторонность (необратимость) переноса позиционной информации: именно локальный порядок определяет интегральный. По вот интегральный порядок не всегда дает зпаппе о локальном порядке. Действительно, если диффеоморфизм переводит интегральные кривые поля направлений друг в друга, то этот диффеоморфизм является и симметрией данпого поля паправлеппй, т. е. он локален. А если какой-то диффеоморфизм и переводит фазовые крпвые векторпого поля друг в друга, то он отнюдь не всегда является симметрией поля и, значит, не локален. Ведь сохранение прямой, на которой лежит вектор, еще не есть сохранение длины и направления этого вектора.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed