Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
т] = e~ylaG (х - ct), и = (g/H)112 e~ylaG {х - cl). (10.4.7)
В частности, если G имеет вид синусоиды, то оно приобретает форму
ц = ц0е~у1а cos (kx — о/), и = (g!H)ll2,r\Qe~yfa cos (kx — (at) (10.4.8)
с дисперсионным соотношением
со — kc. (10.4.9)
Решение показано на рис. 10.3.
Для наблюдателя, перемещающегося вместе с волной, береговая линия (на которой волны имеют максимальную амплитуду) всегда находится справа в Северном полушарии и слева— в Южном. Это свойство можно представить и иначе: можно сказать, что волна движется к экватору по западному берегу и к полюсу — по восточному, т. е. движется вокруг бассейна циклонически. Решение типа волны Кельвина (которое для Северного полушария имеет вид (10.4.7)) можно также представить в форме, не зависящей от знака f, а именно:
г\ = e~vlaG (х — aft), и = (g/af) e~ylaG (х—aft). (10.4.10)
Скорость волны равна af, так что она меняет знак одновременно с f, как и требуется (а по определению положительно). Выражение для и следует из (10.4.1).
Рассмотрим теперь энергетику волны Кельвина, представленной решением (10.4.8). Границу поместим при у = 0, rj0 будет амплитудой волны на берегу. Поскольку при каждом фиксированном значении у решение получается таким же, как при отсутствии вращения, энергия волны Кельвина делится пополам
Рис. 10.3. Волны Кельвина на противоположных сторонах канала, расположенного в Северном полушарии, при условии, что ширина канала велика по сравнению с радиусом Россби. В вертикальных плоскостях, параллельных берегу, течения (показанные стрелками) целиком лежат в этих плоскостях и в точности совпадают с течениями, создаваемыми длинными гравитационными волнами в невращающемся канале. Вместе с тем поверхностное отклонение с расстоянием от берега меняется экспоненциально, что обеспечивает существование геострофического баланса. Это означает, что волны Кельвина движутся в Северном полушарии таким образом, чтобы берег оставался справа. В Южном полушарии берег должен оставаться слева. (Из [571].)
между ее кинетической и потенциальной формами. Среднее значение на единицу длины береговой линии (отмеченное чертой сверху) определяется так:
00 00
J урЯм2^г/=^ J ggi\2 dy = J арйШо- (Ю.4.11)
о о
Среднее значение потока энергии вдоль берега равно
(10.4.12)
о
Эта формула представляет особый интерес в случае, когда волна проходит через область медленных изменений Н или /. Поскольку поток энергии должен оставаться неизменным, амплитуда волны г)0 должна меняться пропорционально (1/1/Я)1/2. В частности, при проникновении волн Кельвина на мелководье их амплитуды должны вырастать до больших значений. Это характерно, например, для составляющей прилива в мелком Северном море, которая входит в район в виде волны Кельвина и движется вдоль западного берега к еще более мелкой южной части моря.
10.5. ПОЛНАЯ СИСТЕМА МОД ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО КАНАЛА ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ
В канале постоянной ширины W возможно существование следующих распространяющихся мод: мод Пуанкаре, определяе-
Рис. 10.4. Дисперсионные кривые в канале постоянной ширины W. Здесь /г — составляющая волнового числа в направлении оси канала. В случае (а) ширина канала составляет малую часть (0,3) радиуса Россби. При этом дисперсионное соотношение, определяемое формулами (10.3.2) — (10.3.4), приобретает вид (of/c)2 == 0,09 -f- (kW)2 + (пп)2. Эффекты вращения, которые представлены в этом выражении константой 0,09, оказались едва различимыми. В случае (б) отношение W/a ширины к радиусу Россби велико (2л;), и дисперсионное соотношение имеет вид (co/f)2 = 1 + (ka)2 + (1/4)п2. При дальнейшем возрастании ширины канала коэффициент при п2 уменьшается, что соответствует на рисунке смещению изолиний вниз и их более плотной упаковке. Предельная кривая для моды Пуанкаре в канале бесконечной ширины показана на рис. 7.2.
мых соотношениями (10.3.1) и (10.3.4), и двух волн Кельвина, движущихся по обеим сторонам канала. Дисперсионные кривые этих мод показаны на рис. 10.4. Если канал не слишком широк
(w/a < л, как в случае (а)), то картина не очень сильно отличается от предельного случая отсутствия вращения. Однако с ростом ширины канала критические частоты сопс, необходимые для распространения мод Пуанкаре, возрастают до частоты f, и картина становится более похожей на случай (б).
Исследование Кельвина волновых движений в канале было ограничено анализом только тех мод, которые теперь называют
в Английском канале. (Из [647, с. 262]; по [171]).
его именем (т. е. плоских распространяющихся волн, описываемых соотношениями (8.2.11) и (8.2.12)). Он отмечал, в частности, что '«приливы в Английском канале имеют такой характер, что его северный берег более похож на средоточие узловых точек прилива, чем южный — французский. Возможно, что это объясняется закономерностью, отраженной во множителе (а именно е~у/а), если учитывать его одновременно с влиянием сопротивления за счет трения. Благодаря этому приливы в Английском канале можно грубо представлять как суперпозицию более мощных волн, перемещающихся с запада на восток, с менее мощными, идущими с востока на запад». То, что такое описание приливов в Английском канале является вполне разумным, можно увидеть из рис. 10.5, где представлены наблюдавшиеся приливы. Более детально эта картина обсуждается в [647, разд. 131].
