Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Кельвин также заметил, что «задача о стоящих колебаниях в бесконечном вращающемся канале решается следующими уравнениями», и привел далее решение в виде двух волн Кель-
вина одинаковой амплитуды, движущихся в противоположных направлениях, т. е.
Г[ = Н {e~yla cos (kx — со/) — eyla cos (kx + со/)}, и = (gH)m {е~у,а cos (kx - со/) + еу/а cos (kx + со/)}, (10.5.1) v = 0.
Далее он подчеркнул, что «если у канала появятся границы, то мы столкнемся с нерешенной задачей из-за возникновения упоминавшихся ранее тессеральных колебаний».
Пуанкаре [633] также использовал решения (10.3.1) при обсуждении волн в бесконечном канале. Некоторые авторы по этой причине относят название «волны Пуанкаре» только к этим решениям. Друше виды волн приходится при этом различать по именам многих других ученых, хотя различия между ними для невращающихся воли можно охарактеризовать простыми описательными словами типа «бегущая», «стоячая», «поперечная». Использование такой описательной терминологии является значительно более предпочтительным, поэтому в книге мы используем только имена Кельвина и Пуанкаре. Волны Кельвина — это прибрежные волны, которые были только что введены. Все же другие классы неприбрежных волн называются волнами Пуанкаре. По-видимому, нет смысла давать отдельное название плоской бегущей волне (8.2.11), которая является предельной формой волны (10.3.1) в канале, когда его ширина стремится к бесконечности.
10.6. ЭФФЕКТЫ КОНЦЕВЫХ ТОЧЕК: СЕЙШИ И ПРИЛИВЫ В ШИРОКИХ ЗАЛИВАХ
Как утверждал в своей работе Пуанкаре [633, разд. 68], волна вида (10.3.1) '«не может испытывать регулярное отражение», поскольку комбинация падающей волны и волны с k, замененным на —k, «не может формально удовлетворить условию равенства нулю нормального (по отношению к отражающей стенке) отклонения». Поэтому включение в анализ волны Пуанкаре не помогает при отыскании решений в канале конечной длины.
Проблему удовлетворения условию в конце канала решил Тейлор [770]. Он добавил в решения (10.3.1) слагаемые с мнимым /г, т. е. с экспоненциальным убыванием вдали от конца канала. Они влияют на решения только вблизи конца канала и не изменяют волн Кельвина, если не учитывать их влияние на соотношение фаз падающей и отраженной воли. Отражение проявляется в возникновении запаздывания по фазе, которое возрастает с ростом ширины канала. Тейлор предлагал интерпретировать это, как если бы волна распространялась вдоль одной
стороны канала, потом немного задерживалась бы для перехода на другую сторону и возвращалась по второй стороне.
Приведенное выше описание основано на справедливом для большинства естественных каналов предположении, что со < coic, где со является приливной частотой. По этой причине распространяющихся волн Пуанкаре в таких каналах не существует. В соответствии с соотношением (10.3.5) условие со < со1с автоматически удовлетворяется при со < /. В то же время при со > f его можно записать в виде
W2 < tt2gH/{®2 — f2), (10.6.1)
т. е. ширина бассейна не должна сильно превосходить квадратный корень из его глубины. При со >¦ coic в решение необходимо включить хотя бы одну моду Пуанкаре (см. [91]).
На рис. 10.6 воспроизведены решения, полученные Тейлором для канала с шириной 250 миль (460 км) и глубиной в 40 морских саженей (73 м), т. е. для бассейна, сходного по размерам и глубине с Северным морем. Соответствующее значение с = 27 м/с. Поскольку со = 1,4-10—4 c~l, f = 1,2-10~4 с-1, радиус Россби а равен 230 км и, значит, W — 2а. Условие (10.6.1) означает, что ширина должна быть меньше 1160 км, так что оно выполняется с запасом. Решение можно сравнить с решением для случая узкого канала, представленным на рис. 10.1. Конфигурации котидальных линий оказываются весьма сходными. Однако вместо очень быстрого распространения фазы в вершине канала, которое характерно для канала малой ширины, отмечается его замедление до скоростей, не сильно отличающихся от скорости распространения фазы вдоль берегов канала. Тейлор отмечал [770]:
«В нижней части бассейна на удалении от замкнутого конца канала более 250 миль котидальные линии и движение частиц очень точно соответствуют распространению двух одинаковых волн Кельвина вверх и вниз по каналу. Приливные течения практически параллельны стенкам канала, а котидальные линии движутся внутрь правого берега (т. е. левой части рисунка). Затем волна обегает его поперечную стенку со скоростью, значительно превосходящей скорость волны Кельвина, и достигает его устья, распространяясь вдоль противоположного берега. При поворотах под прямыми углами у поперечной границы канала волна создает в углах такие подъемы и опускания уровня, которые превосходят его отклонения на всей акватории канала. При выбранном масштабе размах приливных колебаний в углах равен 1,95, в то время как наибольший размах в удаленных от этой границы частях канала равен 1,61.
Для того чтобы более ясно продемонстрировать природу движения на рис. 1 (воспроизведенном на рис. 10.6) в тех местах, где при выбранных масштабах подъем и опускание уровня
