Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 10.2 показан пример прогрессивной волны вида
(10.3.1). В северном полушарии (/>0) амплитуда бывает больше на левой стороне канала (относительно наблюдателя, движущегося в направлении волны). Траектории частиц являются эллиптическими. Орбитальное движение везде антициклонично, за исключением области у правого берега, которая занимает небольшую часть канала, всегда меньшую половины его ширины.
10.4. ВОЛНЫ КЕЛЬВИНА
В предельном случае отсутствия вращения (f = 0) уравнение
(10.3.1) не дает решений типа рассмотренных в разд. 5.8, а дает решения, называемые поперечными модами, которые изменяются в перпендикулярном к оси канала направлении синусоидальным образом. В некоторых ситуациях, например в озерах и заливах, эти моды могут иметь значительную амплитуду. Однако первые моды (т. е. те, которые в предельном случае отсутствия вращения соответствуют движению без поперечных изменений) обычно являются более существенными. Интересно рассмотреть вопрос о том, как видоизменяются эти моды при возникновении вращения. В разд. 10.2 было установлено, что вращение приводит к изменению и и и по у, но это изменение не является синусоидальным. В решениях из разд. 8.2 в этом случае величину I2 следует считать не положительной, а отрицательной. Изо всех решений подобного вида только одно может быть согласовано с условием отсутствия движения через прямолинейную границу. Оно представляет собой волновое решение, открытое в 1879 г. Кельвином [778] и названное в его честь волной Кельвина.
Рассмотрим свойства волны Кельвина. Изменения по у являются экспоненциальными. Поскольку на линии у — coinst (граница канала) v равна нулю, она должна быть нулевой и при всех других значениях у. Следовательно, решение вида волны
Кельвина можно получить, полагая в уравнениях v=0. В частности, уравнения (7.2.1) и (7.2.3) при этом дают
du/dt — — gdr\/dx, (10.4.1)
dy\/dt + Нди/дх = 0. (10.4.2)
Эти уравнения позволяют определить изменения ц и и на любой линии у == const. Они не содержат ускорений Кориолиса и оказываются, таким образом, совпадающими с уравнениями (5.6.4),
(5.6.6) движения мелкой воды при о=0 в отсутствие вращения. Следовательно, в вертикальной плоскости границы канала, а также и в любой другой параллельной ей вертикальной плоскости движение оказывается в точности совпадающим с движением в невращающейся системе (т. е. дает гравитационную волну в теории мелкой воды).
Общее решение уравнений (10.4.1), (10.4.2) состоит из суммы двух бездисперсионных волн, перемещающихся в противоположных направлениях, т. е.
= Fr {х + ct, у) + G' (х — ct, у),
1/9 (10.4.3)
и = — (g/H){F' (х + ct, у) — G'(x — ct, у)},
где вид функций F1 и G' еще предстоит определить, а с = (gH)1/2 (в соответствии с (7.2.5)). Изменения функций F' и G' по у можно найти из еще одного оставшегося неиспользованным уравнения (7.2.2), которое при и = 0 имеет вид
fu — — gd4\fdy. (10.4.4)
Таким образом, эта составляющая движения находится в гео-строфическом равновесии. Подстановка (10.4.3) приводит к уравнениям
dF'fdy = f (gH)~mF', dG'tdy = - f (gH)~m G', (10.4.5)
показывающим, что одна из волн (при f >- 0 связанная с G') экспоненциально затухает в направлении возрастания у, а другая—в направлении убывания у. Эта экспоненциальная зависимость очень напоминает свойства волны Лэмба, рассмотренные в разд. 6.14, так что волна Кельвина попадает в класс так называемых краевых (захваченных, граничных) волн.
Если / положительно (Северное полушарие), то убывающее по у решение должно перемещаться по jc в положительном направлении. В соответствии с (10.4.5) оно определяется как
F' = 0, G' = e~ylaG (х — ct), (10.4.6)
где G — произвольная функция. Как отмечал Кельвин [779, с. 97], «скорость распространения волны оказывается такой же, как и при отсутствии вращения», а «влияние вращения ограничивается появлением множителя» ехр (—у/а). «При рассмотрении
этого множителя получается множество интересных результатов». Одно из важных его свойств связано с возникновением пространственного масштаба а, который в настоящее время называется радиусом деформации Россби (см. раздел 7.5) и определяется по (7.2.23) или (8.2.3). Характерные значения а (см. разд. 7.5) для баротропных волн Кельвина (которые играют большую роль в теории приливов) имеют порядок 2000 км в случае глубокого моря и 200 км для прибрежных районов и мелких морей. Для бароклинных волн Кельвина (которые оказываются существенными при описании прибрежного апвеллинга) характерные значения а примерно равны 30 км. Существуют также предположения [244], что зарегистрированные зоны низкого атмосферного давления в прибрежных районах являются разновидностью волны Кельвина со значениями а около 300 км.
Окончательный вид решения типа волны Кельвина, получающийся при подстановке (10.4.6) в (10.4.3), оказывается следующим:
