Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Для канала произвольной ширины необходимо удовлетворить уравнениям теории мелкой воды (7.2.1) —(7.2.3) с граничными условиями
v = 0 при */ = ±уГ. (10.7.7)
Поскольку граничное условие поставлено для функции v, то имеет смысл свести систему к одному уравнению для этой функции. Оно имеет форму, сходную с уравнением (7.2.13) для г), и получается при сложении уравнения (7.2.1), умноженного на f, производной по времени от уравнения (7.2.2), производной по у от уравнения (7.2.3), умноженной на —g, и произведения —gH2 на производную уравнения (7.2.10) по х. Результат этой операции имеет вид
•0 -'(0¦+ W) + р° = - еН2-7ЙГ У’ °)¦ (ш-8>
где Q'{x,y,Q) представляет собой исходное значение возмущения потенциальной завихренности, заданное соотношением
(7.2.9).
Зависимости между v и другими переменными и и ц лучше всего представить в виде соотношений между v и суммой и разностью и и (g/H) 1/2г[, а именно
q = (g/H)'12 п + и, (10.7.9)
г = (g/H)'12 i\~u. (10.7.10)
Эти новые переменные были использованы Гиллом и Кларком [251] при исследовании экваториальных волн.
Суммируя друг с другом и вычитая друг из друга уравнения (7.2.1) и (7.2.3), умноженные на (g/H)l/2, получим
+ = <10-7Л1>
^r-^ + cjt + fv = 0- (Ш-7Л2)
Эти уравнения содержат только две зависимых переменных и позволяют связать q и г с и. Кроме того, можно заметить, что если о = 0, то каждое из уравнений соответствует одной волне Кельвина, так что способ введения q и г позволяет рассматривать независимо каждую из них.
Существуют и другие уравнения, связывающие q и v и г и v. Их можно получить как сумму и разность уравнения (7.2.2) и уравнения (7.2.10), умноженного на сН:
c-^ + fq+-~-~o-^ + cHQ'(x, у, 0) = 0, (10.7.13)
с^-^г + Ж+°^-ст'{-х’ У' °) = °- (Ю.7.14)
где Q' определяется соотношением (7.2.9). И в этом случае каждую из двух воли Кельвина можно рассматривать независимо. Отметим также, что уравнение (10.7.8) можно получить либо исключением q из (10.7.11) и (10.7.13), либо исключением г из
(10.7.12) и (10.7.14).
Решение можно представить теперь в виде суммы мод Пуанкаре, определяемых по формулам (10.3.1), (10.3.4) и (10.3.5), и двух возможных волн Кельвина. Предположим (для простоты), что начальное состояние является симметричным относительно оси у, так что решение для v сохраняет эту симметрию. Тогда оно имеет форму
оо
V = Е («Wf) vn cos ly, (10.7.15)
n= 1
где t определяется соотношением (10.3.4), а смысл включения множителя (tOftc/f), вытекающего из (10.3.5), скоро станет очевидным. Из (10.7.11) — (10.7.14) следует, что q и г можно представить в виде
оо
q = q0e~fyl° + 2 Яп (cos ly + f~lcl sin ly), (10.7.16)
/г = 1 оо
r = r0efy/c+2 rn (cos ly — f~lcl sin ly), (10.7.17)
и» l
где qn, rn и vn удовлетворяют соотношениям
dqo/dt + cdqQ/dx = 0, drjdt — с drjdx = 0 (10.7.18)
rip и /i=0, и
dqn , „ ддп _ n , dvn „ dvtl , „пг _n
dt ' Qx ®nc®n 0, Qf С "i СлУд — 0,
(10.7.19)
~dt c ~dx“ — 0» ~ + -gf + c -fir — cHQn — o
(10.7.20)
для положительных ц > 0. Q'n представляет собой п-й член разложения Q'(x,y, 0) вида (10.7.15). Части qo и г о, имеющие вид волн Кельвина, приспосабливаются как в случае невращающей-ся системы, а каждая из мод Пуанкаре приспосабливается как в рассмотренном в разд. 7.2 и 7.3 случае без зависимости от г/-координаты и с заменой f на ©яс. Из (10.7.16) и (10.7.17) следует, что начальные значения qn и гп можно найти как коэффициенты разложения в ряд Фурье вида
Значения q0 и г о определяются из двух таких же уравнений с учетом того, что в среднем отклонение мод Пуанкаре на стенке должно быть равно нулю. Например, при начальном условии
(7.2.11) это дает
qо ch {f W/2с) = rQ ch (fW/2с) = — (g/H)ll\0 sign (х) при / = 0.
(10.7.22)
Решение с начальным распределением в виде ступеньки
(7.2.11) строится очень легко. Это объясняется тем, что каждая из мод Пуанкаре ведет себя таким же образом, как и решение, показанное на рис. 7.3, а составляющие решения, являющиеся волнами Кельвина, представляют собой простые волны, движущиеся с постоянной скоростью. Для больших значений t каждая из мод Пуанкаре будет иметь вид, показанный на рис. 7.1, т. е. при больших |х| она будет очень близка к начальному состоянию. В отличие от мод Пуанкаре, волны Кельвина создают су-, щественные изменения при больших \х\. Одна из воли движется вдоль одного берега канала (в Северном полушарии всегда вдоль правого) в положительном направлении оси х и вызывает, таким образом, изменения у этого берега. Другая волна Кельвина движется в обратном направлении вдоль противоположного берега, что соответствует изменению решения при больших отрицательных значениях х. В результате возникает несимметричная картина, показанная на рис. 10.7,6 и определяемая формулами
