Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
(6.17.11), в уравнениях можно легко учесть эффект сжимаемости жидкости. При этом соотношение (12.8.3) приобретает вид
рп / дно* w* \ дФ" D„ / д2Ф" д2Ф" \
^ \~dzl Я^) = I3 ~дГ ЦТ ( дх2 ~ду*~) * (12.8.11)
Уравнение для функции плавучести (12.8.4) записывается сле-
дующим образом:
N*w, + Ds (dO"ldzJIDi = 0. (12.8.12)
При этом уравнение квазигеострофической потенциальной завихренности, получаемое исключением ш* из двух последних уравнений, можно записать очень просто:
где функция q есть квазигеострофическая потенциальная завихренность, определяемая формулой
Ее необходимо отличать от функции потенциальной завихренности Q, которая была введена в работе Эртеля 1942 г. [200]. Связь q и Q можно продемонстрировать с помощью следующей формулы:
в которой функции Qo и Q' определяются соотношениями
(7.12.10) и (7.12.11). Она записана в приближении, согласующемся с приведенными выше масштабами переменных. Вариант с несжимаемой жидкостью получается из уравнения
(12.8.11) как частный случай при переходе к пределу H/Hs->-0. Есть много ситуаций, в которых квазигеострофические уравнения допускают дальнейшие упрощения. В частности, баро-клинный радиус Россби в океане составляет величину только порядка 30 км, и множество различных движений характеризуются значительно большими пространственными масштабами. Если же горизонтальный масштаб L много больше, чем NH/f0, т. е. если
то оператор Лапласа по независимым горизонтальным переменным в уравнении (12.8.7) оказывается малым по сравнению с вертикальной производной, и (12.8.7) можно приближенно записать в виде уравнения
которое в океанологии представляет собой т. я. нестационарный вариант уравнений теории термоклина. В указанном приближении вклад в агеострофическую скорость вносит только (3-слагаемое (см. определения (12.2.24) и (12.2.25)), изменения относительной завихренности пренебрежимо слабо влияют на изменения потенциальной завихренности, и изменениями кинетической энергии по сравнению с потенциальной также можно пренебречь. Уравнение баланса завихренности приближенно записывается в форме (11.13.3), которая соответствует стационарному потоку. Оно оказывается справедливым не только в том случае, когда горизонтальный масштаб явлений значительно уступает по величине радиусу Земли, поэтому соотно-
(12.8.14)
q ~Po(Qo + Q')/(d%/dz),
(12.8.15)
f0L > NH,
(12.8.16)
(12.8.17)
шение (12.8.17) можно обобщить и записать в форме, справедливой для движений на всем земном шаре [624].
Приближенные уравнения для сферы получаются следующим образом. Во-первых,, горизонтальные компоненты скорости связываются с давлением с помощью обыкновенных геострофических соотношений (см. (11.2.1) и (11.2.2)), а именно
2йрпг sin qp = — др/дср, 2Qprv sin <p = seccpdp/d;\,. (12.8.18)
Во-вторых, из уравнения для завихренности (11.13.3) определяется w\
rdw/dz = v ctgcp = (cosec2 cp/2Q:pr)dp/dl. (12.8.19)
Далее, объединяя уравнение (6.4.2) для функции плавучести с соотношением гидростатики (3.5.8), получаем последнее уравнение:
D [dp/dz)/Dt = 0, (12.8.20)
причем иногда в его правую часть включают диффузионные члены. Решения системы уравнений (12.8.18) — (12.8.20) обсуждались в работах Верониса [812, 813], Веландера [844], Андерсона и Киллворта [21]. В связи с тем, что эти уравнения являются справедливыми для всей сферы, их можно рассматривать как модель некоторого типа геострофического движения, которое отличается по своим свойствам от квазигеострофиче-ского движения, обсуждавшегося ранее (детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе Филлипса [624]). Кроме того, названные уравнения можно также использовать для изучения вертикальных движений и абсолютных (а не только относительных) значений горизонтальных составляющих поля скорости в океане [404].
Если иметь ввиду моделирование атмосферы, то эффекты слагаемого, описываемого горизонтальным оператором Лапласа, только в редких случаях оказываются достаточно малыми по сравнению с эффектом вертикальной производной. В то же время (3-слагаемое иногда оказывается несущественным по сравнению с нелинейными членами. При этом можно воспользоваться приближением /-плоскости или, иначе говоря, положить параметр .р в уравнениях (12.8.14), (12.8.11) или (12.8.7) равным нулю. В этом случае необходимо следить за выполнением условия, что v0 значительно больше определенного масштаба скорости, который находится по формуле (12.2.21) и при котором нелинейные члены и (3-слагаемые имеют одинаковый порядок, т. е.
а0 > pL2, или L С (о0/Р)1/2- (12.8.21)
Масштаб (^о/(3)1/2 в атмосфере равен примерно 1000 км, так что влиянием (3-эффекта для явлений типа фронтов действительно
можно пренебречь. Более того, он часто оказывается вторичным даже для масштабов, характерных для развивающихся барических образований.
