Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
(12.2.13)). Если в качестве пространственного масштаба по вертикали взять Я, то соответствующие выражения для безразмерных переменных можно записать следующим образом (сравнить с (12.2.11)):
“a = /o“a/PL?V Vl = f(Pj$LV О’ 2* = 2/Я, W = f0w/$HVQ.
(12.8.1)
Если, используя эти масштабы, записать уравнение неразрывности (12.2.8) с точностью первого приближения и вернуться в нем к прежним немасштабированным переменным (опуская тильду), как это было сделано в завершающей части разд. 12.2, то получится выражение
dujdx Н~ dvjdy + dw/dz = 0, (12.8.2)
То обстоятельство, что вертикальная скорость w оказывается связанной соотношением (12.8.2) с агеострофическими скоростями и поэтому имеет масштаб, определяемый формулой
(12.8.1), оказывается весьма существенным при оценке масштабов величин в операторе переноса (12.2.6). Член \i2vd/dy имеет порядок vq/L. Из (12.8.1) следует, что член wd/dz имеет меньший порядок — e,La0/L и не дает вклада в приближение первого порядка. Поэтому, как и в двумерном случае, оператор D/Dt можно аппроксимировать оператором Dg/Dt, определение которого дается формулой (12.2.22). Таким образом, вклад в адвекцию (первого порядка) создает только геострофическая скорость, а вертикальной адвекцией можно пренебречь. Урав-
нение для dwfdz можно найти, подставляя соотношения (12.2.24)
и (12.2.25) в формулу (12.8.2). При этом получается уравнение
dw dp' D„ (д2р' д2р' \
Ро^о ~дГ = I3 ~дГ ~Dt (~dF~ ~дуг) - (12.8.3)
Его полезно сопоставить с соответствующими уравнениями: во-первых, с его аналогом на f-плоскости (8.4.8) (который, естественно, не содержит' (3-слагаемого), во-вторых, с двумерным уравнением (12.2.30), и в-третьих, с уравнением (12.7.16), выведенным в специальном случае на основе уравнения потенциальной завихренности.
Суть квазигеострофического приближения состоит в преобразовании уравнений движения. Дополнительное соотношение, связывающее друг с другом w и р', было использовано ранее в предыдущих главах. Оно получалось с помощью комбинирования уравнения для функции плавучести и гидростатического соотношения. В линейном виде оно представлено формулой
(6.11.4). В нелинейной задаче с учетом квазигеострофического приближения в этой формуле необходимо заменить d/dt на Dg/Dt, что дает
pQN2w — — Dg {dp'ldz)lDt. (12.8.4)
Если плавучесть определяется только возмущениями потенциальной температуры 0', которые отсчитываются от значения 0О на некотором заданном уровне, то соотношение (12.8.4) вытекает из уравнения для температуры
DeQ'/Dt + (N2/a'g) w = 0 (12.8.5)
(где а' — коэффициент теплового расширения, определенный в разд. 3.7.4 и для идеального газа равный 0О-1), и из уравнения гидростатики
dp'/dz — ga'po0'. (12.8.6)
Исключая w из (12.8.3) и (12.8.4), можно получить одно уравнение для возмущения давления р':
DB (д2р' д2р' д ( й др'\\ др' ч
~Ж v'aF" + ~дуг + ~зГ \~W ~дГJ j + Р дх (12-8-7)
Оно называется уравнением квазигеострофической потенциальной завихренности. Его отличия от линейного уравнения
(8.16.13) для /-плоскости состоят в присутствии (3-слагаемого и нелинейных членов. Поскольку нелинейный оператор переноса (12.2.22) выражается с помощью соотношений (12.2.15) только через возмущение давления, в уравнении (12.8.7) имеется только одна искомая переменная, а именно рг.
Уравнение баланса энергии в квазигеострофическом приближении получается при суммировании уравнения (12.8.4), умно-
женного на ро lN 2dprjdz, с соотношением (12.2.33), умноженным на ро. Оно имеет вид
DeE/Dt-{- и^др'/дх + v^dpfdy + wdp'ldz = Q, (12.8.8) где плотность энергии Е (см. разд. 6.7) определяется формулой
?=1р fu2+021+i-^=-_L_r^Y+r^iYl +
2 0' g s' 2 pQN2 2p0fq LV dx J V dy ) J
+ (12-8-9) в которой p' представляет собой возмущение плотности на заданном уровне. Уравнение для энергии также можно получить, если умножить уравнение потенциальной завихренности (12.8.7) на р' и проинтегрировать полученное выражение по частям. Если просуммировать уравнение (12.8.8) и уравнение несжимаемости (12.8.2), умноженное на р', то получится дивергентная форма записи энергетического уравнения:
iuap' + UgE) + VgE) + (wp')= 0.
(12.8.10)
Она показывает, что поток энергии состоит из двух частей, одна из которых представляет собой произведение возмущения давления и агеострофической составляющей течения (в нее входит также и вертикальное движение), а вторая связана с переносом энергии геострофической составляющей течения.
Полученные уравнения легко переписать в форме, соответствующей новой системе координат с заменой вертикальной координаты z на логарифм от давления 2*. При этом необходимо заменить 2 на z*, w на оу*, р'/р на Ф" (см. (6.17.17)) и N на N* (см. (6.17.25) и (6.17.24)). Кроме того, используя вместо уравнения несжимаемости (12.2.8) уравнение неразрывности
