Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
If/JV KIWI/P)1'2 (12.7.12)
для горизонтальных волн максимальной длины. Для атмосферы в средних ширЪтах он равен 5—10 км, а для океана — 1—3 км.
Для западных ветров и направленных на восток течений (U > 0) масштаб затухания в е раз возрастает с уменьшением k2-\-l2 2=%н до тех пор, пока хй1 не достигнет значения
(?//р)1/2. (12.7.13)
При больших горизонтальных масштабах уже возможно образование распространяющихся волн. Если воздействие на атмосферу осуществляется снизу, то эти волны должны иметь направленную вверх групповую скорость, и их структура будет сходна с той, которая показана на рис. 12.10. Оценивая баланс завихренности в некотором столбе жидкости, можно убедиться в том, что данный конкретный масштаб имеет особое значение. Если обозначить через 6 у отклонение столба воздуха от своей средней широты к северу, то изменение его планетарной завихренности будет равно рбу. Меридиональная скорость равна одной из составляющих скорости изменения 6у, а именно
Ud {by) /дх. Поэтому, используя геострофические соотношения, ее
можно выразить через возмущение геопотенциала, равное
q>" = fQUdy. (12.7.14)
Поскольку в соответствии с соотношением (12.2.15) относительная завихренность (dv/dx — ди/ду) равна лапласиану от функции p'/pofo = 'Ф"/fa, то изменение полной завихренности в волне определяется следующим образом:
р &у + (д’-/дх* + aW)®7fo = (У’р - ин) Ф"//о- (12.7.15)
Последнее равенство основано на зависимости (12.7.14) и предполагает, что возмущение давления представимо в форме волны
(12.7.3). Итак, отклонения в сторону полюса приводят к формированию циклонического возмущения полной завихренности (правая часть формулы (12.7.5) становится положительной)
только в том случае, когда горизонтальный масштаб ^н1 превосходит величину, определяемую формулой (12.7.13).
Для того, чтобы связать Ф" с полем вертикальных отклонений h, можно использовать принцип сохранения потенциальной завихренности столба жидкости (см. (7.10.9)). Если обозначать через 62 высоту этого столба в невозмущенном состоянии, то при наличии возмущений она будет равна bz -{-(dh/dz)6z. Соответственно, ее относительное изменение равняется dh/dz. Принцип сохранения требует, чтобы это изменение было равно относительному изменению завихренности (по отношению к /о), определенному формулой (12.7.15). Поэтому можно записать
(сг’р + дг/дх2 + aW) Ф" = ftdhjdz,. (12.7.16)
(«Звездочка» в правой части проставлена для того, чтобы имелось соответствие с формулами разд. 6.17, где в качестве вертикальной координаты также использовался логарифм давления.) Линии тока, показанные в нижней части рис. 12.10, демонстрируют, что из-за подъема линий равных фаз к западу воздушные объемы оказываются наиболее сильно сжатыми в восточной (хвостовой) части волны. Поэтому (см. (12.7.16)) гео-потенциал и возмущения давления здесь минимальны, а отклонения частиц к экватору (см. (12.7.14)) максимальны. Отсюда следует, что жидкость должна воздействовать на подстилающую поверхность с силой, совпадающей по направлению с потоком. Это было отмечено и в других примерах (см., например, рис. 8.8), касавшихся генерации бегущих волн. Иначе говоря, волны способны испытывать трение под влиянием неоднородностей рельефа.
Другим уравнением, которое отражает закономерности движения материальных частиц, является уравнение сохранения потенциальной температуры. Оно требует, чтобы отклоненные вверх частицы имели отрицательные возмущения потенциальной температуры. Из уравнения гидростатики при этом следует, что возмущения геопотенциала (или давления) над приподнятыми участками подстилающей поверхности уменьшаются с высотой. Рис. 12.10 показывает, что это действительно происходит, когда линии равных фаз поднимаются к западу. Формула, которая отражает приведенные выше зависимости, имеет вид (см. (6.17.27))
Л'*/г- + ^Г = 0- (12.7.17)
Если исключить из уравнений (12.7.16) и (12.7.17) функцию /г* и использовать предположение о волновом характере решений, то можно получить дисперсионное соотношение (12.7.10).
Это еще раз подтверждает, что для описания динамики жидкости достаточно руководствоваться принципами сохранения потенциальной температуры и потенциальной завихренности.
Проведенный в данном разделе анализ закономерностей, присущих однородному потоку несжимаемой жидкости над неровной подстилающей поверхностью, очень полезен для качественного понимания происходящих при этом процессов. Его можно также применить и в задаче об обтекании изолированной горы [650]. Однако назвать его достаточно общим нельзя. Это объясняется тем, что при рассматриваемых масштабах недопустимо пренебрегать изменениями U с высотой и по широте. В свою очередь это требует обобщения квазигеострофических уравнений с учетом адвекции неоднородными потоками. Оно проведено в разд. 12.8 и применено в задаче о малых возмущениях в разд. 12.9.
