Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, п. р. случайной величины Zn будет (см. (9.1.10)):
- Sm (пууп = O4,)"'«- e-nv>^) -
.A^-WW) (9.7.10)
O7T (л/2) 4 '
В соответствии с формулами (8.2.3) и (8.2.4) M [Zn] - о2; D [Zn] = 2а4/и. +
Распределение с. в. Zn также широко применяется в статистике.
Задача 5. Закон распределеиия корня квадратного из суммы квадратов независимых одинаково распределенных нор-м^альиых св., имеющих пулевые математические ожидания.
Решение. Случайная величина
Дп= 1/2 Xl (9.7.11)
г й=м
гдеМ[Х/{] = 0; D [Xn]= о\
Закон распределеиия и числовые характеристики св. Rn были определены в п. 7.10 (см. (7.10.33) — (7.10.38)).>
Задача 6. Закон распределения модуля нормально распределенной с. в.
P е in е и и е. Пусть с в. X имеет нормальное распределение с параметрами т, о; случайная величина Y определяется так:
F=UI; (9.7.12)
находим:
G(y)=P{Y<y} = P{\X\<y} = P{-y<X<y} =
- p (у) - у) - ф (^) - ф (=^) (у > 0),
(9.7.13)
где т = M [X]; а2 = D [X] и Ф(х)'— фупкция Лапласа. Плотность распределеиия с. в. Y будет:
(у-т)2 (-У-7п)2
* Г 20'г +-=4=-Г 204 u/>0). (9.7.14)
оу2п о у In
3S6
ГЛ. 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Если т = О, то
(?0/) = 2ф(-?) (y>0)t (9.7.15)
g(,,) = -A=e ^ (y>0). > (9.7.16)
Задача 7. Логарифмически нормальное распределение. Говорят, что неотрицательная св. F имеет логарифмически нормальное распределение, если ее натуральный логарифм
InF-X (9.7.17)'
имеет нормальное распределение. Требуется найти закон распределения св. F:
F = ex. (9.7.18)
Решение. Пусть параметры нормального закона, по которому распределена св. X, равны т, о. Найдем соответствующее логарифмически нормальное распределение. Функция е* монотонна, поэтому плотность св. F найдем по формуле (9.1.7):
g(y) = /(In y)\dJ^, (9.7.19)
dy
где
Пх) = їушехр\--5П-
Следовательно,
«!«!-^•"(-?^! <»><*> <М.»Ч
Задача 8. Ограниченный нормальный закон. При контроле качества изделия по параметру X, распределенному по нормальному закону с характеристиками M [X] « т и D [X] «»а2, отбраковываются изделия, имеющие значение параметра X меньше величины а или больше величины ?. Найдем закон распределения св. У —значения контролируемого параметра изделия, прошедшего контроль, и св. не прошедшего
контроль.
9.7. ФУНКЦИИ НОРМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО АРГУМЕНТА 387
для изделия, прошедшего контроль: gy (У)
fjy) р О
при y?(a,?).
(9,7.21)
ІЗ"
Решение. Вероятность р того, что изделие пройдет контроль, будет:
р-|/(*)&-ф[ц?]-ф[»^\
а
где /{х) = ехр {- (х - т) 7(2о2) }/оУ2я; Ф (х) — функция Лапласа.
По интегральной формуле Бейеса (3.4.9) получим плотность распределения св. Y —- значения параметра X
388
ГЛ. 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Аналогично найдем плотность распределения св. Z — значения параметра X для изделия, не прошедшего копт-роль. Эта плотность g,(z) отлична от нуля только вне промежутка (а, ?), а именно
?<(z) =
ІШРі + Pt) ПРИ 2<«; О при а < z < ?;
f{*)/(Pi + Pt) ПРИ 2>?-
(9.7.22)
где
р1 = Р(Х<а} = ф[^] + 015;
А_р<Р<Х)-.0,5-ф[Ц^].
Заметим, что Pi + р2 3=21 — р есть вероятность того, что изделие не пройдет контроля.
На рис. 9.7.1 и 9.7.2 показаны графики п. p. gv{y) ¦*«(*). >
9.8. Вероятностная смесь распределений. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых
В инженерной практике нередко встречаются задачи, в которых закон распределения случайной величины сам является случайным и зависит от того, какое из полной группы несовместных событий (гипотез) Ни H2, Нл имело место. Требуется найти «полный» вакон распределения случайной величины с учетом того, что он с какими-то вероятностями может быть тем или другим.
Пусть, например, имеется техническое устройство (ТУ), состоящее из п элементов. В ТУ с вероятностью Pi работает г-й элемент (и только он один). Задапы ве-
п
роятностиP1, р2, • •., Pn) ^jPa І.Если работает J-й эле-
мент, то связанный с ТУ случайный параметр X имеет заданное распределение (функцию распределения Ft(x) или плотность fi(z)). Требуется найти полный («усредненный») закон распределения параметра X с учетом случайности номера работающего элемента.
Другой пример: поступающее к потребителю изделие может принадлежать тому или другому из заводов —
9.8. ВЕРОЯТНОСТИАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 389
производителей: Зь 32, ..., Зл; если оно принадлежит і-му заводу, время T его безотказной работы — случайная величина с плотностью /<(?). Известны вероятность р.
того, что изделие принадлежит заводу 3* = I1 I1 ,, .2 п;
2Pi = lj* Требуется найти полную («усредненную»)
плотность распределения f(t) времени T безотказной работы изделия.
Решим поставленную задачу в общем виде. Имеется случайная величина X; об условиях опыта, в результате которого она принимает то или другое значение, можно сделать п взаимоисключающих гипотез: H19 //2, Hn. Вероятности гипотез известны:
P(H1)^p. (/ = 1,2, SP*-l).
