Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
g(у) = [(sign в1) Vn/(2nalai /3)] охр{- ^~-}. После преобразований получаем
1 [ (y-™v)2}
(9.7.2)
где
M [F] = U1TIi1 + а2т2 + Ь;
Oy = D [Y] = а\о\ + а\о:2 + Ia1U2V12O1O2.
Таким образом, мы показали, что линейная функция системы двух нормально распределенных св. (X1, X2) распределена нормально.
Методом математической индукции этот результат может быть обобщен на случай системы п нормально распределенных св.: линейная функция (9.7.1) системы п нормально распределенных св. (X1, X2, ...t Xn) с математическими ожиданиями (ти т2, mn), дисперсиями (ol, о\, ..., о2) и нормированной корреляционной матрицей ІІГцІІ распределена нормально (9.7.2) с характеристиками:
2 аітг + Ь\ о\ = 2 я?<*і + aiajrijuiOj. >(9.7.3)
i=l
Мы показали, что нормальный закон является «устойчивым» по отношению к линейному преобразованию.
382
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Устойчивость нормального закона по отношению к линейному преобразованию в значительной мере определяет его широкое применение в инженерной практике. Во многих случаях реакция Y технического устройства (ТУ) (или системы) на входные возмущения (X1, ... ..., Xn) может быть описана линейной (или линеаризуемой) функцией. Часто эти возмущения представляют собой нормально распределенные св. Поэтому реакция ТУ на эти возмущения также представляет собой нормально распределенную св. В следующей главе будет показан более сильный результат, состоящий в том, что при определенных условиях линейная функция (9.7.1) распределена приблизительно нормально, даже если система св. (X1, X2, Xn) имеет не нормальное распределение. Другими словами, реакция ТУ на входные возмущения во многих случаях если не точно, то приближенно представляет собой нормально распределенную с. в.
Задача 2. Распределение х2- Пусть имеется п независимых одинаково распределенных нормальных случайных величин X1, X2, ..., Xn с математическими ожиданиями, равными нулю и дисперсиями, равными единице:
M[Xft] = 0; D [X*]= a [X,] = 1 (к - 1, 2, ..., /г). Обозначим сумму квадратов этих случайных величин
Xі-2 Я (9.7.4)
и найдем закон распределения случайной величины хгі это распределение называется «х2-распределением».
Решение. В задаче 3 п. 9.1 было показано, что плотность распределения квадрата Y нормально распределенной случайной величины с м.о., равным нулю, и дисперсией, равной единице (F = X2), имеет вид:
f(y) = e-»/2/}'2^j (у>0).
Характеристическая функция св. Y равна:
OO
% (t) = M Иу] = J (ei,ve-y/-/V%w) dy =
9 7 ФУНКЦИИ НОРМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО АРГУМЕНТА 383
Этот интеграл (8.9.23)):
был нами вычислен; он равен (см.
1/2
1/2
Очевидно, что X2 = 2 где Yk имеет то же распреде-
ление и ту же характеристическую функцию, что и св. К.
В соответствии со свойством 3 характеристических функций (см. (8.9.9)) имеем:
¦*х' w=п к (о={<>„ (or - (yH (4 - и]
Из этого следует (см. (8.9.23)), что х2-распределенпе представляет собой гамма-распределение с параметрами К = 1/2 и п/2, где п — число суммируемых квадратов случайных величин, следовательно, плотность распределения с. в. X2 имеет вид:
(1/2)П/2 n/2-l -У/2
?п Q/)
Г (л/2)
0/>0).
(9.7.5)
Пользуясь свойством 2 характеристических функций (см. (8.9.8)), можно показать, что
MIx2
= щ Dfx2I = D
I1X
1=1
= 2п. (9.7.6)
Число п суммируемых квадратов св. называют числом степеней свободы х2"РаспРеДеления- Х2-Рас~ пределеняе широко применяется в математической статистике. >
Задача 3. Закон распределения суммы квадратов независимых одинаково распределенных нормальных св., имеющих пулевые математические ожидания.
Решение. Пусть X1, X2, ..., Xn- нормально распределенные независимые св.:
(9.7.7)
причем M [X,] = 0; D [X,] - о2 (к - 1, 2, ..., п).
384
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Пронормируем каждую из св. Xh, деля ее на о: Очевидно,
M [Zk] - M [Xk/o] = 0; D[Zk] = D[Xh/o]~d*/d*=t.
Из ранее доказанного следует, что св.Уп/a2 I —
п
2 будет иметь х2-распрсделенпе:
fc=i
откуда
YJa* = Хг, Г.-oV,
т. е. с. в Уп представляет собой линейную фупкцию с. в. X2. В соответствии с решением задачи 1 п. 9.1 плотность распределения св. Yn будет (см. (9.1.10))'
„ /,л „ / У \ 1 (1/2)п/2 л,^п\
gyn (у) = z-(V Is= 7F^iT у е {у>0)'
(9.7.8)
Числовые характеристики св. Yn будут M [Уп] = na2 и D [Fn] = 2/ia4. Закон распределения с. в. Yn широко применяется при статистической обработке экспериментальных данных. >
Задача 4. Закон распределения среднего арифметического квадратов независимых одинаково распределенных нормальных св., имеющих пулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии.
Решение. Случайная величина
п
где M [Xk] = 0; D [Хк] - а2 (к = 1, 2, ..., п). С. в. Zn представляет собой линейное преобразование св. Yn (см. (9.7.7)):
Zn = YJn,
9.7. ФУНКЦИИ НОРМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО АРГУМЕНТА 385
13 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
