Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Между пространствами В и V имеется определенная связь. Положим
(v, /> = $/(*) v (dx)
X
(интеграл определяется как ^ / dv+ — ^fdv~, где
х х
v = v+ — v~ — разложение Жордана; см. все тот же параграф книги Колмогорова и Фомина (1968)). При этом каждому элементу veV ставится в соответствие линейный функционал (v, •) на В, а каждому элементу f^B — функционал {•, /) на V. Таким образом, мы получаем естественное вложение V в В* (пространство, сопряженное кВ), а В—¦ в V*. Норма элемента и норма соответствующего линейного функционала совпадают:
[| V [| = sup I (v, /> I,
Ilf 11=1
[|/||= sup \(v, />1
I! v || = 1
(это нуждается в доказательстве, но мы его не приводим) .
Линейные операторы в пространстве В мы будем записывать слева от обозначения элемента В: Af, Pstf и т. п., а в V — справа: vB и т. п.
1. Теперь определим операторы, связанные с переходной функцией марковского процесса (или семейства) .
Сначала введем операторы Pst, s t, s, t^T, на пространстве В: для feB определим Pstf как функцию, значение которой в точке х задается формулой
pstf М = ^р(s> dy)f (у)- (О
х
Здесь существование интеграла и его ограниченность обеспечиваются тем, 4to/3(s, х, t, •)— конечная мера; измеримость Pstf(x) по х — измеримостью P(s, •, t, Г).
Переходная функция однозначно определяется семейством операторов Pst: разным переходным функциям соответствуют разные семейства операторов
203
(докажите!). Однако не каждому семейству операторов соответствует какая-то переходная функция.
Выпишем семейство операторов, связанное с переходной функцией винеровского процесса, хотя этот пример (как и любой другой на нашем уровне знаний) не очень интересен: просто какие-то интегральные операторы. Для s < t, f s В
pstf (x) = ^ p (s, x, t, y) f (у) dy =
Rl
OO
= [2jt(/-s)pI/2 jj е-(У-х)Ч\2 its)] f йУ'
-OO
Посмотрим, какими свойствами обладают операторы Pst. Прежде всего, по самому способу построения ясно, что это линейные операторы; остальные свойства получаются из свойств переходной функции. Из того, что Р (s, х, t, •) — мера, а не просто счетноаддитивная функция множества, вытекает, что оператор Pst переводит неотрицательные функции в неотрицательные; то„ что это вероятностная мера, дает нам
\Pstf(x)\<\P{s, х, t, d^) и/и = 11/II. (2)
X
Отсюда же вытекает, что Pst\ = 1. Измеримость по х мы уже учли. Из Р (s, х, s, Г) = 8Х (Г) получается, что Pss — тождественный оператор. Посмотрим, что дает уравнение Чэпмена — Колмогорова: при
Psaf (х) = ^ Р (s, х, и, dz) / (z) = х
Р (s, х, t, dy) Р (t, у, и, dz) f (z) = x x
= jjp(s, x, t, dy)^P(t, y, u, z)f(z) = Psi(Ptuf)(z).
X X
Иначе говоря,
psu = pst . ptU' (3)
Это — обобщение формулы, которая была у нас в § 8.1 для счетного X.
Формулу (2) можно записать так: ИЯ^/Н^И/И. или ||Psi||^ 1. Операторы в банаховом пространстве, не
204
увеличивающие норму элемента, естественно назвать сжимающими.
Итак, мы установили следующие свойства операторов Pst в пространстве В:
а) Pst — линейные операторы;
б) Pst — сжимающие операторы, т. е. они не увеличивают норму элемента;
в) Pst — операторы, сохраняющие положительность, т. е. они переводят неотрицательные элементы в неотрицательные;
г) Pstl == 1;
д) pss = Е (тождественный оператор);
е) Psu == pstptu ПрИ s t sC и.
2. Введем теперь операторы в пространстве V. Будем их обозначать также Pst (s ^ t, s, t^T), но записывать справа от обозначения элемента V: vPst. Положим по определению
vpst (Г) = J v (dx) Р (s, х, t, Г). (4)
л:
Существование интеграла обеспечивается измеримостью переходных вероятностей по х; счетная аддитивность функции vPsi — счетной аддитивностью Р (s, х, t, •). То, что Р (s, х, t, •) — вероятностная мера, влечет за собой ||vPsi|| ^ ||v||, vPst (X) = v(X) и то, что оператор Pst переводит меры (т. е. неотрицательные v е V) опять в меры. Уравнение Чэпмена — Колмогорова превращается в
VPSU = (vPsi) Ptu
при S ^ t sgC и, или
psu = pst . ptu ^
(Заметим, что при внешнем совпадении с формулой (3) формула (5) имеет другой смысл: не говоря о том, что здесь рассматриваются операторы на другом пространстве, порядок их применения другой: в (3) сначала применяется оператор Pta, а потом Pst, а здесь сначала Pst, а потом Ptu.)
Формулировка свойств операторов Pst в пространстве V остается такой же, как для операторов Pst в В (см. п. 1), за исключением свойства г), которое заменяется на