Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
D'=DA2, (7)
где Д — определитель матрицы преобразования.
§ Р1] АНТИСИММЁТРИЧЁСКИЁ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 327
Задача 1. Доказать, что из (3) следует (2).
С помощью подходящим образом выбранной матрицы преобразования Р приведем форму / к наиболее простому нормальному виду. Это преобразование будет введено за несколько шагов.
Если форма / тождественно равна нулю, то без всякого преобразования она представляется в нормальной форме:
Л>=о.
Если же хотя бы один коэффициент данной формы отличен от нуля, то можно считать, что а12^0. Найдем в (1) все слагаемые с переменной х4:
Х1 (а12#2 + • • • + а\пУп)-Тогда слагаемые с переменной ух таковы:
— {а12хг + ... + а1пх„) ух.
Введем вместо х2 и у.2 новые переменные х'г и у2 по формулам: Х-г = С112Х2 -{-••• + а1ихп, у'г = &\ъУг + • • - + й1лг/л;
после этого запишем ? как форму от хх, х\, х3, ..., х„ и от уи Уь Уз, •••> Уп? Слагаемые с хх и у1 теперь выглядят просто:
хху',-х.гух.
Слагаемые с уг таковы:
(хх-{- Ь3х3 -\-... + Ьпхп)у1
Вместо хх и у1 введем теперь новые переменные х'1 = х1 + Ь3х3 + ... + Ьпхп,
Ух — УхЛ- Ь3 Уз + Ъпут
и запишем / как форму от х[, х’.ъ х3, ..., хп и от у\, у'г, у3, ... ..., уп. Тогда останутся только два слагаемых, содержащих х[, х\, у\ или у’,, а именно:
х\Уъ — хгУ\-
Все остальные слагаемые содержат лишь х3, ..., х„, у3, ... ..., уп. Если все они равны нулю, то мы получили нормальную
форму
/г —Х\Уч — хгУ1-
В противном случае можно повторить проведенную процедуру и вместо х3, Х4, Уз, у4 получить новые переменные х\, Х4, Уз, у[, которые окажутся лишь в слагаемых
ХзУь — Х4у3.
328
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. ХП
В конце концов получится нормальная форма, которая без введенных выше штрихов выглядит так:
/а = {Х\У‘2, — Х1У\) + • • • + {Х1к-гУ1к — Х2кУчк х). (8)
где
О ==?2 к-^п.
В п-мерном векторном пространстве, состоящем из векторов вида (С], сп), есть подпространство 9?, которое задается урав-
нениями
/(с, у) — 0 тождественно по ук
или
~ 0.
Размерность этого подпространства равна п — г, где г — ранг матрицы А. Очевидно, указанная размерность является инвариантом формы / относительно обратимых линейных преобразований переменных Х1 и ук. Таким образом, инвариантом является и число г.
Если вычислить ранг г нормальной формы /*, то получится
г = 2/г. (9)
Так как г — инвариант, то ранг г исходной формы / является четным числом. Имеем:
Ранг антисимметрической матрицы А является четным числом 2к. Это число равно количеству слагаемых в нормальной форме (8).
Если размерность п — нечетное число, то ранг обязательно меньше, чем п, и поэтому определитель Э равен нулю. Если же п — '2т четное, то существуют формы с определителем Э Ф О, например, нормальная форма /т. Следовательно, определитель антисимметрической матрицы из четного числа строк не всегда равен нулю.
Мы получим общую антисимметрическую форму, считая коэффициенты а1к при I < к независимыми переменными и выразив остальные через них с помощью (4) и (5). Если п четное (п = = 2т), то определитель так построенной общей формы в силу сказанного выше отличен от нуля. Если привести эту общую форму к нормальному виду, то получится нормальная форма (8) с к —т. Коэффициенты соответствующей матрицы преобразования являются рациональными функциями от переменных аг/г, а определитель Ь' нормальной формы равен единице. Следовательно,
?> = Д-2, (10)
где А — рациональная функция от а1к, представляемая, таким
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
329
образом, отношением многочленов:
A = G/H. Из (10) и (11) следует, что
DG2 = H2.
(И)
(12)
Следовательно, Н2 делится на в2, а потому Я —на в:
Н = вС}.
Подставим это в (11) и (12); тогда получится
A = Q~\ D = Q2.
(13)
(14)
Определитель Я является формой степени п = 2т, поэтому С? — форма степени т от переменных а!к. Если для случаев п=^2 и п = 4 провести соответствующие вычисления, то получится
Формула для Q в общем случае была найдена Пфаффом. Доказательство имеется в одном очень поучительном письме Липшица (Lipschitz R.). — Ann. Math., 1959, 69, p. 247), опубликованном много лет спустя после его смерти.
Группа линейных преобразований переменных xt и ук, переводящих в случае я=2т нормальную форму fm в себя, называется комплексной или симплектической. По поводу строения этой группы, а также ортогональных групп и вообще линейных групп см. Дьедонне (Dieudonn? J.). Sur les groupes classiques.—Paris, 1948.
n — 2: n = 4:
Q = an,
Q = ^12^34 "Ь ^11^23 •
Глава тринадцатая
АЛГЕБРЫ
Кольцо 91, являющееся конечномерным векторным пространством над некоторым полем Р и удовлетворяющее условию
(au) v = u (а и) = a (uv) для аеР,
называется ассоциативной алгеброй над полем Р. Если исключить условие ассоциативности, то получится общее понятие (линейной) алгебры. Среди неассоциативных алгебр особенно важны два типа:
1. Альтернативные кольца, в которых выполняются следующие ослабленные законы ассоциативности:
a (ab) = (аа) Ь, b (аа) — (Ьа) а.
Наиболее ранний пример альтернативной алгебры представляет собой алгебра октав Кэли; см. по этому поводу Цорн (Zorn М.). Alternativk?rper und quadratische Systeme. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1933, 9, S. 395. Альтернативные кольца важны для аксиоматики геометрии на плоскости 1). Новые исследования по этому поводу см. в работе: Шафер (Schafer R. D.). Structure and representation of non-associative algebras. — Bull. Amer. Math Soc.., 1955, 61, p. 469.
