Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Аиа = Хи),
называются собственными векторами матрицы А, отвечающими собственному значению X.
Вполне приводимый случай (ср. § 87), в котором нормальная форма (2) имеет диагональный вид
X, о
' . , (4)
О ’ кп
встречается, когда все порядки р равны 1, т. е. когда многочлены Д, (х), из которых (р (х))р возникают при разложении на простые множители, не имеют кратных множителей. Так как
Д+1 = О (Д)|
для этого достаточно, чтобы старший элементарный делитель Д(х) не имел кратных множителей.
Методы эффективного определения характеристических корней и построения нормальных форм изложены в следующих параграфах.
Задача 1. Старший элементарный делитель Д (х) совпадает с многочленом / (х) наименьшей возможной степени со свойством
/(л;)ЗЯ = 0 или /(Л) = 0.
Задача 2. Для произвольной матрицы А, заданной во второй или третьей нормальной форме, определить совокупность перестановочных с ней матриц (ср. § 87, задача 3).
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция
При преобразовании
А'=Р~Х АР матрица хЕ— А переходит в
Р-1 {.кЕ — А)Р = хР~хЕР - Р~ХАР = хЕ-А'.
Определим инвариантные множители матрицы хЕ — А в кольце КМ- Так как они инвариантны относительно одновременного
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
315
умножения матрицы А слева и справа на любые обратимые матрицы, мы можем определить их для матрицы хЕ — А', где А’ — первая нормальная форма в смысле § 88. Согласно (1), (2) из § 88, матрица хЕ — А' состоит из блоков вида
X 0 . . 0 %
—1 X . 0 Pi
Аг = 0 —1 . . 0 Р,
0 0 . X Рл-2
0 0 . . —1 ?К + Рл-!
Для определения инвариантных множителей мы должны эту матрицу привести к диагональному виду. К первой строке прибавим строки со второй по 1г-ю, умноженные соответственно на х, х2, ..., хН1\ получим:
0 0.. 0 / (х)
-1 X .. 0 Pi
0 0.. X РЛ-2
0 0.. . —1 *+ Рл-1
Перестановкой одних только строк переведем первую строку в самый низ; тогда под главной диагональю останутся только нули. Прибавлением к последующим столбцам столбцов, кратных предыдущим, легко получить всюду над главной диагональю нули. Таким образом, получится матрица
-1 О
-1
— 1
О f(x)
Располагая такие блоки друг за другом и переставляя строки и столбцы так, чтобы — 1 занимали начало главной диагонали, мы получим искомую диагональную форму
-1 'О
-1
— 1
fiW
frW
316 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. XII
Тем самым многочлены (х) вместе с несколькими единицами служат инвариантными мноокителями матрицы хЕ — А. Степени простых многочленов, на которые они раскладываются, являются элементарными делителями матрицы А.
Характеристический многочлен (характеристическая функция) матрицы А
х(*) = ПМ*)
1
аннулирует модуль ЭЛ, потому что этим свойством обладает уже множитель 1Г (х)\ следовательно,
Х(Л) = 0. (1)
Характеристический многочлен является наибольшим в смысле порядка минором матрицы хЕ — А, а потому с точностью до константы равен определителю \хЕ — А\. Но эта константа равна, очевидно, единице; следовательно,
%(х) = \хЕ-А\. (2)
Характеристическое уравнение (1) для матрицы А выводится непосредственно из (2). Именно,
Хи^
и исключение всех и из этой системы уравнений дает нам (надо учитывать, что переменная а и ее степени перестановочны с коэффициентами а ц,):
или
х—ап ... — а1п
— ап1 ... х—апп | хЕ — А ] = О,
т. е. % (х) = | хЕ — А аннулирует все переменные щ, а потому и весь модуль 201. Это и требовалось доказать.
В силу сказанного коэффициенты характеристической функции % (х) матрицы А инвариантны относительно преобразования
А^Р-ЫР.
Важнейшими среди коэффициентов являются первый и последний. След матрицы Л—это коэффициент при —хп~1:
5 (Л) =
Норма матрицы Л—это коэффициент при (— 1)пх°:
IV (Л) = 1Л1.
§90] КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 317
Корни характеристической функции называются характеристическими корнями Ху, которые в предыдущих параграфах уже вводились как корни многочлена ?у(х). Это доставляет средство определения корней Ху и построения нормальных форм, описанных в предыдущих параграфах. Именно, сначала нужно определить Ху как корни многочлена
X (х) = | хЕ - А |,
затем векторы щ из линейных уравнений (ср. (3) из § 88)
Аи1 = ХуС1.
В случае кратных корней (р>1) последующие векторы и2, ... ур, как правило, определяются легко из уравнений (3) из § 88; при этом может оказаться необходимым заменить соответствующие корню векторы щ их линейными комбинациями.
Уравнение %(Я) = 0, корнями которого являются Ху, появляется во многих приложениях; поскольку оно очень часто встречается в теории вековых возмущений, его называют еще вековым уравнением.
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы
Пусть К — поле и (2 — квадратичная форма
0. (*х, • • •, хп) = 2] Я 1x1 + Л Я1кХ1хь (1)
I I < к
с коэффициентами из поля К. Положим Ях = Яп и будем писать вместо Я(хъ ..., хп) просто С) (х); тогда (1) можно записать короче:
QM = ? Й1кХ{Хк.
Построим форму (2(* + г/), где у обозначает новый набор переменных ух, ..., уп? Вычисление показывает, что
Я(х + у) = Я (х) + 0(у) + В (х, у), (2)
где В (х, у) — симметрическая билинейная форма
в (х, у) = 2 Ь1к*1Хк (3)
