Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 124

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 247 >> Следующая

IIS 0
§ 38] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ 311
Задача 2. Представление является вполне приводимым тогда и только тогда, когда каждому инвариантному подпространству 91 можно сопоставить инвариантное же подпространство о такое, что вместе они порождают модуль ЗЯ:
ЗК = 9г + С.
Задача 3. Если _ ип) = (и1, ..., ип) Р — гомоморфизм модуля пред-
ставления в себя, то матрица Р перестановочна со всеми матрицами представления:
АР = РА,
и наоборот.
§ 88. Нормальные формы матрицы над полем
Пусть ЭЛ = («!, ..., ип) — модуль линейных форм над полем К и
И? I ? Т)}{
— некоторое линейное преобразование модуля ЭЛ в себя. Мы собираемся ввести новый базис,
(и[ ... и'п) = {и1 ... ип)Р
(где Р — некоторая обратимая матрица над К), в котором матрица А = |) | приобретет наиболее простую нормальную форму
А' = Р гАР.
Рассмотрим степени матрицы А как представление степеней произвольной переменной л: и продолжим его до представления кольца многочленов К[х], которое многочлену
/ М = 2
сопоставляет матрицу
Представление гомоморфно, потому что степени матрицы А перестановочны между собой и с коэффициентами а,.
Этому представлению соответствует модуль представления ЭЛ, в котором произведение многочлена из К [х] с элементом и е ЭЛ определяется равенством
(2 и = 2 аИ'Л.
Модуль представления ЭЛ является двойным модулем относительно К [х] и К; однако, так как величины из поля К перестановочны со всеми остальными и между собой, мы можем писать их слева от элементов модуля ЭЛ:
иХ = Хи;
поэтому ЭЛ можно рассматривать просто как К [х]-модуль.
312
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
Так как кольцо многочленов К [х] евклидово, применима основная теорема из § 86: модуль ЯН является прямой суммой циклических К [л;]-модулей (ш^), ..., (ы)г), аннулирующие идеалы которых или равны нулю, или порождаются каким-либо многочленом. Случай нулевых идеалов исключается, потому что для каждого и) = и)ч можно указать не более п линейно независимых величин среди хю, ххт, хъхю, ...; следовательно, существует многочлен 2 аУх'/ СО свойством
2 <у-^хю = 0.
Поэтому каждый элемент х0 = х&ч обладает аннулирующим многочленом наиболее низкой степени
и М = / М = ** + ак-\Хк~х + • • • + «о,
Величины XV, XXV, ..., линейно независимы над К и поэтому
могут использоваться для построения К-базиса в циклическом К [х]-модуле (щ) = (хю, XXV, ...). Имеем:
Ахю — XXV,
Ахш = х*‘хю,
Axk~1xv = хкх0 = — а0-х& - а,!-XXV-
?а к-
XV.
Следовательно, преобразование А модуля (XV, XXV, ...) в себя в новом базисе задается матрицей
0 0 . . 0 — а0
1 0 . . 0 — а.
0 1 . . 0 — а2
0 0 . . 1 —а*-і
(1)
Такие матрицы называются сопровождающими. Каждому элементу xvv соответствует сопровождающая матрица Ау такого типа. Так как модуль 9ЭТ является прямой суммой модулей (щу), для матрицы А получается первая нормальная форма
^1
Ла
Аг
(2).
где блоки Ах — сопровождающие матрицы типа (1).
Из теоремы единственности § 86 следует, что многочлены 1ч(х),
как и сопровождающие однозначно.
матрицы Ау, определяются модулем Я)?
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ
313
Блоки Ау, можно разлагать дальше, представляя циклические модули (Доу) в виде прямых сумм таких циклических подмодулей, которые аннулируются степенями неразложимых многочленов. Форма (2) сохранит свой вид, только в эгом случае сопровождающие матрицы (1) будут соответствовать степеням многочленов (р(х))р (вторая нормальная форма). И здесь сопровождающие матрицы определены однозначно с точностью до порядка следования. Многочлены (р (х))р иногда называют элементарными делителями матрицы А. Связь между понятием инвариантного множителя из § 85 и понятием элементарного делителя выявится в § 89.
С ПОМОЩЬЮ КОМПОЗИЦИОННЫХ рядов циклических модулей (Шу) полученные выше нормальные формы можно упростить дальше. Мы рассмотрим здесь лишь случай, когда встречающиеся в рассуждениях многочлены р (х) являются линейными; такая ситуация складывается, в частности, когда поле К алгебраически замкнуто. Итак,
р(х) = х — Х,
/(х) = (х-Я)р.
В качестве базисных элементов мы возьмем элементы
и1 = (х — Я)р_1 до, ц2 = (х — Я)р~2 до,
Цр = до.
Имеем:
(х-Я) 1»! = О,
(х-Я)ц|х = цй_1 (1<ц«х),
или
Аи1 — хи1 = Хи1,
Тем самым блок Ах приобретает «редуцированный вид»:
Я 1 0 . . 0 0
0 я 1 . .. 0 0
0 0 0 . . я 1
0 0 0 . . 0 я
и, равным образом, так как каждому элементу Доу соответствует некоторое Яу,
Яу 1 . .. 0 0
0 Яу . .. 0 0
0 0 . .. Яу 1
0 0 . .. 0 Яу
314
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
Эти блоки следует опять подставить в (2), и мы получим третью нормальную форму. Характеристические корни Ху и порядки р„ рассматриваемых блоков вновь определены однозначно.
Все векторы »ц, которые соответствуют фиксированному корню X, порождают некоторый модуль ©у, аннулирующийся степенью многочлена х — X (§ 86); этот модуль (на языке векторных пространств) называется корневым подпространством корня X. Весь модуль является прямой суммой таких корневых подпространств. В этих последних существуют упомянутые в § 86 ряды подпространств, аннулирующихся многочленами (х — Х)р, (х — Х)р1,..., 1. Векторы х — Х, аннулирующиеся многочленом но, т. е. удовлетворящие равенству
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed