Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема VI. Пусть f есть заданная непрерывная функция координат точек
поверхности (5), причем ffds = 0.
Положим
1 /
i>, = - f - ds (61)
4тг г
и составим ряд потенциалов Неймана по формулам
1 COS if
- fuk-i --------:
2тг r'
Положим затем
1 cos*
2тг г
где ju есть функция, определяемая следующим абсолютно и равномерно
сходящимся рядом:
Ц ~ V\ + V~2 + из + • • • + v'k + • • • (63)
Построенная таким путем функция W удовлетворяет уравнению Д W = 0 внутри
(S)
a vvra и/
vk- -/н*_ 1 ------------------ ds (k = 2,3,...). (61,)
W = vt + - / ju-- ds, (62)
320
и условию д W,
=/ на поверхности (S),
Ъп
Т.е- решает внутреннюю задачу К. Неймана для всякой поверхности Ляпунова,
к которой приложим принцип Робена.
В частности, функция W дает решение внутренней задачи К. Неймана для
любой конвексной поверхности.
17. Допустим теперь, что условие (55) не имеет места, и положим в
формулах (57)и(581^) е = - 1, причемд'" представится в виде абсолютно и
фавномерно сходящегося ряда (56) п. 15. В этом случае
W' = (у2 - Wi) + (y4 - Vs) + • • • +(V2* - W2* + l) + • • •
Подобно предыдущему получаем
ся абсолютно и равномерно, то Imi^ у2* +,. Так как, далее, к поверхности
(5) приложим принцип Робена, а следовательно, и принцип Неймана, то, в
силу неравенства (30) *)
Wj = lim у* = С, (64)
к -*¦">
где Сесть постоянная, определяемая равенством (31), в котором для
рассматриваемого случая функцию/нужно заменить функцией
- Wj W - р. - (рз - l"l) + (У5 - т>э) + ... + (У2* + 1 - Vjk- i) + • • •
н
Подставляя вместо /в (31) это выражение у t, получим
(64t)
C0=S
Р
ds.
г
*) Потенциалы двойного слоя и* отличаются от таких же потенциалов И'*
теоремы II только тем, что в первых за исходную функцию вместо/взята
функция
1 /
Равенство (64) показывает, что
W = u, - W' = С внутри (S), (65)
Э Wi' Эи,, откуда - = -1- .
Эл Эл
Таким образом, потенциал двойного слоя W' имеет внутреннюю нормальную
производную, а следовательно, и внешнюю, причем
. (65,)
Эл Эл
При помощи этого равенства из уравнения
1 f,
W = - - / - ds - W 4 я г
выводим dWi bWe
Ъп Ъп ^
bWt
Но, в силу (65), ------ 0. Следовательно,
Ъп
bWe
=/ на поверхности (5).
Ъп
Таким образом, функция W, определяемая равенством (65), дает решение
внешней задачи К. Неймана, какова бы ни была заданная функция /,
непрерывная на поверхности (5). Получаем следующую теорему.
Теорема VII. Пусть /есть какая угодно заданная непрерывная функция
координат точек поверхности (S). Полагаем
1 /
w, = - - / - ds (66)
4я г
и составляем ряд потенциалов двойного слоя по формулам 1 cos
¦г'*-т
Положим затем 1 .
-/м---------
2я г
u* = ~/w*-i-rr Л (* = 2,3,...). (66.)
W=vx--Sp" -j-ds, (67)
где ресть функция, определяемая следующим абсолютно и равномерно
сходящимся рядом:
д'"=(щ -Fj) + (U^ - Wi)+. .. +(W2ft- i -W2*) + - • • (68)
Построенная таким образом функция W удовлетворяет уравнению ДИ' = 0 вне
поверхности (S)
322
и условию
bWe
=f на поверхности (S),
Ъп
т.е. дает решение внешней задачи К. Неймана для всякой поверхности, к
которой приложим принцип Робена.
В частности, функция Wрешает внешнюю задачу К. Неймана для всякой
конвексной поверхности.
18. Указанный в двух последних пунктах метод решения основной задачи
гидродинамики (задачи К. Неймана) заслуживает особого внимания, так как
построение искомой функции, как показывают теоремы VI и VII, не требует
предварительного решения задачи о распределении электричества и все дело
сводится только к составлению потенциалов и, и vk (jfc = 2,3,...) по
формулам (61), (611) или (66) и (66i).
Замечу еще, что в данном случае доказательство существования нормальных
производных от потенциала двойного слоя
1 cos у
W'= - / д"' -J-ds 2 п г3
и равенство (60,) (или (65,)) можно получить независимо от третьей
теоремы Ляпунова, как это показано в моем сочинении "Общие методы решения
основных задач математической физики" (Харьков, 1901, стр. 93 и след.)
*).
19. Мы видели (пп. 7 и 10, теоремы II и III), что метод Неймана дает
решение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя, а для
внешней задачи это решение представляется, вообще говоря, в вид<
алгебраической суммы некоторого потенциала двойного слоя и по тенциала
простого слоя, находящегося в равновесии на данной поверх ности (5).
Если функцию /, в которую должна обращаться на поверхности (5)
гармоническая внутри или вне ее функция W, мы зададим в виде потенциала
простого слоя, то рассматриваемый метод Неймана даст, очевидно, решение
задачи о преобразовании данного потенциала простого слоя в потенциал
двойного слоя, принимающий на поверхности (5) либо те же значения, что и
данный потенциал простого слоя, либо отличающиеся от них на некоторую
постоянную. Но более простое решение о преобразовании потенциала простого
слоя в потенциал двойного уже имеется в исследованиях пп. 16 и 17.
В самом деле, равенство (65) дает
W' = vx - С внутри (5), или, на основании (57) и (66),
1 cos 1 /
