Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
5.3. Теорема Какутани. Пусть Х=ХхХХ2, $=9$х®912, ц =
= ИіХр-2, v=VlXv2, где ці, Уг меры на Мі- Для того чтобы было
у<Ср, необходимо и достаточно, чтобы было уі<^ці, при этом
Это утверждение просто проверяется с помощью теоремы Фу-
биНИ И формулы (2) ДЛЯ фуНКЦИЙ g(x) =g(Xi, Х2) =ё {X\)g(X2),
а такие функции образуют тотальное множество. Только что
сформулированное утверждение, очевидно, переносится на лю-
бое конечное число сомножителей. Теорема Какутани относится
к двум бесконечным произведениям мер, т. е. продакт-мерам.
Теорема. Пусть на ( П Хп, ® &„ заданы меры ц= X ^
со
и ї= X V,, где р„, V,, — вероятностные меры на Здп. Для того
чтобы v<Cp, необходимо и достаточно выполнение следующих
двух условий:
1) для всех п v„<p,„,
2) сходится числовое бесконечное произведение
со
пш"!*. (4)
Доказательство. Необходимость условия 1) вытекает из
того, что для каждого п меру р, можно представить в виде
оо
произведения р.! X ... X и X Ра, это же справедливо для V.
Если v<Cp, то и VI X ... X ^„<р, X X ... X IV 2) Пусть
v<^p,. Тогда для всех п
~ (хи х2, .. •) —• • • 5^7(■*») Ря+1 (-«п+ь • • •).
J g(xu xm)IL^-(хк) d,=
т п
= Jg(JCi, ...,xjU^-(xi)d.l ... d|imxj П gj(^)X
k=m+\
Xdu.m+i ■ • • d\in f П (xk)d( X цк
CO
= f g(xu ..., xm)dvx ... dvm- f П ^"(а:*)^-
Переходя к пределу при я-> со, найдем
оо
\g{xu ..., xm)U zl£-(Xk)d,==^g(xu ..., xm)dvx ... dvm=
ft=i
■■^g(xu ..., xm)dv,
т. е. правая часть (о) совпадает с jj.
96
где p„+i {хп+и ...)= ft=^+1—...)• Легко проверить, что
йГ x На
к=п+\
J Рл+i (л«+ь • • .)d,= 1 и lim р„+1 (л:„+1, . ..) существует почти
17-» со
всюду по мере р и равен константе в силу закона 0 или 1.
Поэтому
оо
17 = 1
Величина ^(^(^ь ...))1/2^И- совпадает с lim ...
... ^-(л^У'^р! . . . ацп и с выражением (4) (переход к пре-
делу под знаком интеграла возможен, так как интеграл от
квадрата допредельной подинтегральной функции равен 1).
Необходимость условий теоремы доказана.
Достаточность. Предположим, мы установим сходи-
мость по мере и, бесконечного произведения в правой части (5)
и равенство
оо
Iim J П (6)
Тогда для всякой измеримой ограниченной функции g (хх, ..., хт)
получим равенство
Покажем, что П (^~(хп)у2 сходится в среднем квадрати-
ческом: пусть т<ге, тогда
т / п п \
= 2 — 2 ГГ \(~~(хк))1'2а'ц1!-*0 при п., яг->оо.
Далее на основании теоремы Фату
со П
\ П £-^^<Нт$ П ^(*й)*ц<1,
а на основании неравенства Коши
оо /со \ 2
5П К п (&<*>),я«.1-
со
и выражение справа стремится к 1 при та -> оо. Последнее
со
равенство вытекает из того, что функции И (<^-(хк
имеют интеграл от квадрата по мере р, равный 1, поэтому равно-
мерно интегрируемы и, значит, возможен предельный переход под
знаком интеграла. Достаточность (6) установлена и, значит,
правая часть (5) равна ~. □
5.4. Абсолютная непрерывность гауссовских продакт-мер.
Пусть для всех п Хп = Ц, Мп = Зд/1, р„ и уп — гауссовские меры
со средними ап и ап, дисперсиями Ьп, Ьп. Тогда
Можем подсчитать, что
С (р. {Х)Г (ехр (-
11 Ч гп \ ьп + ьп ) М ±{Ьп + ьп)
Произведение II \ i^^(xf)l2^n СХ°ДИТСЯ тогда и только тогда,
когда
со ^ со ^
Пусть ц и v — гауссовы меры в Н с характеристическими функ-
ционалами
Ф(г) = ехр{г(а, z) — ^{Bz, ф (г) = ехр |г (а, z) — ~(Bz,
Выберем последовательность векторов сквН такую, чтобы
(Bck, с;)=0, (Bck, Cj) = 0 при k=fi= j. Тогда отображение
((х, С]), (х, с2), . •.) переводит Н в 7?°° и меры ц, v в гаус-
со со
совские продакт-меры р,= х ^п и v= X v„, \in имеет среднее
(с„, а), дисперсию (/Зс„, сл), а v„ —среднее (сп, а), дисперсию
(Вс„, сп). v<fx, если
со эо
Из этих двух условий и того, что v<Cfx тогда и только тогда,
когда у<£г, вытекает
Теорема 2. v<^fx тогда и только тогда, когда существует
такой симметричный оператор Гильберта — Шмидта D, для
которого В — B*=BU2DB^12 и a — a = BU2d, где d6H.
Вывод этих условий из (7) носит чисто технический характер.
Глава 4
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ФУНКЦИЙ
§ 1. Регулярные модификации
