Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Рис. 39. § 10] преломление ha сферической поверхности 7t
Допустим, что точечный источник света P находится на оптической оси системы (рис. 39). Произвольный луч PA после преломления на сферической поверхности пойдет по пути AP'. Обозначим длины AP и AP' через и и и' соответственно. Эти длины отсчиты-ваются от точки А и считаются положительными, если направление отсчета совпадает с направлением распространения света, и отрицательными в противоположном случае. Из рисунка видно, что
пл. РАС+ ил. CAP' = пл. PAP'.
Так как и < 0, и' > 0, то для этих площадей можно написать: пл. РАС = ! /^Л і • і ЛСI sin ф = -1UuR sin cp, пл. CAP' = 1Zgfct'/? sin чр,
пл. PAP' = —1I2UU' sin (ф — ij;) = —1I2UU' (sin cp cos г|э — sin cos ф).
Здесь R — радиус кривизны преломляющей поверхности. Он от-считывается от сферической поверхности к ее центру (на рис. 39 радиус R положителен). Таким образом,
— uR sin ф -f и'R sin г]) = — ии' (sin ф cos гр — sin cos ф). По закону преломления sin ф/sin г|э = п'In, а потому
— и'Rn' + и'Rn = ии' (п cos ф — га' cos -ф).
Отсюда
П tl' _ П COS ф —П' COSl))
и 17 ~ R ' * '
Положение точки P' зависит от угла наклона а падающего луча к оптической оси. Ограничимся, однако, малыми углами а и допустим, что углы ф и г|з Также малы. Лучи, удовлетворяющие таким условиям, называются параксиальными (приосевыми) лучами. Для них можно принять
cos ф = cos і]) = 1, AP^OP = X,' AP' ^OP' =х'.
В этом приближении формула (10.1) переходит в
Отсюда видно, что в рассматриваемом приближении положение точки P' не зависит от угла а. Следовательно, все параксиальные лучи, выходящие из одной точки оптической оси, после преломления на сферической поверхности пересекутся приближенно в одной точке, лежащей также на оптической оси. Точка P' будет поэтому оптическим изображением точки P в параксиальных лучах. Во всем дальнейшем предполагается, что все лучи, проходящие через центрированные системы, параксиальны. 72
геометрическая теория оптических изображений [гл. ii
При выводе предполагалось, что источник света P действительный. Однако все сказанное справедливо и для мнимого источника, т. е. тогда, когда источником служит точка схождения продолжений падающих лучей. В этом легко убедиться, повторив рассуждения применительно к рис. 40.
Полагая формально п' = —п, из (10.2) получаем формулу для сферического зеркала:
+ I = A
^x' о
Ж'
(10.3)
Рис. 40.
3. Рассмотрим теперь случай, когда точечный источник P не лежит на главной оптической оси (рис. 41). Проведем прямую PC, соединяющую точку P с центром кривизны преломляющей поверхности. Такую прямую можно рассматривать как оптическую ось, сведя тем самым разбираемый случай к предыдущему. Для параксиальных лучей О'P ж OQ, О'P' a; OQ' (здесь QhQ' — проекции точек P и P' на главную оптическую ось). Абсцисса х' точки P' определится из уравнения (10.2), а ордината у' — из соотношения
г/ у
CQ' CQ
x' — R
IT
которое следует из подобия треугольников PCQ и P'CQ'. В результате находим:
- , - Tu, P . У'=*,. Р- (10.4)
(я— n)x~\-nR' * {n'—n)x + nR 4 '
Проведем через точку Q произвольный параксиальный луч QA, образующий с главной оптической осью какой-то угол а. Угол
А/
У
/ і і -X« !
а оI л' -Jta
У
Рис. 41.
наклона преломленного луча Л Q' с той же осью обозначим через а'. Отсчет углов производится в направлении от главной оптической преломление на сферической поверхности
73
оси к лучу. Если это направление противоположно направлению вращения часовой стрелки, то угол считается гіоложительньїм; в противоположном случае его следует считать отрицательным (яа рис. 41 угол а положительный, угол а' отрицательный). Опустим из точки А перпендикуляр AA' на главную оптическую ось. В приближении параксиальной оптики его длину можно представить в виде I AA' I = —ха = —х'а'. Следовательно, ха = х'а'. Но из формул (10.4) следует
х' _ п'у'
а потому
(10.5)
X пу ' v '
пуа = п'у'а'. (10.6)
Таким образом, величина пуа не изменяется при преломлении параксиального луча на сферической поверхности. Эта величина называется инвариантом Лагранжа — Гельмгольца, а равенство (10.6)—теоремой Лагранжа — Гельмгольца. Теорема, очевидно, справедлива для центрированных систем, состоящих из какого угодно числа преломляющих и отражающих сферических поверхностей .
Формулы (10.4) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах. Применяя их к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающее от преломления на этой поверхности. Полученное промежуточное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. С помощью тех же формул (10.4) можно найти положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, и т. д. В конце концов путем последовательного применения формул (10.4) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой.
