Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
-2. Рассмотрим сначала в действительности не существующую непоглощаюшую среду, в которой фазовая скорость v выражается линейной функцией длины волны
p = e + (8.4)
6 следовательно, частота (О т линейной функцией волнового числа Щ
& = ak + 2nb, (8.5)
Произвольное плоское возмущение, распространяющееся в среде, разложим на монохроматические волны, Их число, вообще говоря, будет бесконечно велико. Однако можно ограничиться случаем, когда оно равно трем. Это, рак будет видно из дальнейшего', не 56
введение
[гл. i
отразится на общности рассуждений и результатов. На рис. 29 представлены эти три синусоиды в какой-то момент времени. Форма результирующего возмущения зависит от их взаимного расположения. Не нарушая общности, можно принять, что в этот момент какие-то три гребня синусоид А, В, С пространственно совпадают друг с другом.
Допустим ради определенности, что фазовая скорость и возрастает с возрастанием длины волны X (если предположить противоположное, то рассуждения и окончательный результат не изменятся).
Az А А,
Таким образом, если Aa > X2 > а vi> vz> ^3 — соответствующие фазовые скорости, то V1 > V2 > V3. При распространении, например, вправо более длинные волны будут обгонять более короткие, что приведет к непрерывному изменению формы результирующего возмущения. Гребни А, В, С начнут расходиться, гребни A1, B1, C1 разойдутся еще больше, а гребни A2, B2, C2 будут сближаться. Если начало координат поместить в точку, в которой находились гребни А, В, С в начальный момент, то координаты гребней A2, B2, C2 в произвольный момент времени t представятся выражениями
XAAt)= vIt-К xB2 (0 = V2t — X2, Xc2 (t) = v3t — K3. В момент времени т, определяемый условиями V1X — A1 = V2X — X2 = v3x — X3,
т. е.
Яі — X2 X2 — X3 Яі — Яз dX 1
Т V1 — U2 v2 — V3 V1 — W3 dv b '
гребни A2, B2, C2 пространственно совпадут, так что первоначальное взаимное расположение синусоид,- а с ним и форма всего возмущения восстановятся. Только роль гребней А, В, С перейдет к гребням A2, B2, C2, что, очевидно, никак не может отразиться на форме результирующего возмущения. Полученный результат при линейном законе дисперсии (8.4), имеет общее значение, т. е. справедлив для произвольного числа синусоид и произвольного начального расположения их. : групповая скорость
67
Таким образом, по истечении времени х = dX/dv, называемого временем восстановления, происходит периодическое восстановление формы возмущения. Например, в рассмотренном нами случае трех синусоид в начале координат, где накладывались гребни А, В, С, в начальный момент времени был максимум возмущения. В точности такой же максимум появился через время т в другом месте пространства, где наложились гребни A2, B2, C2. Распространение возмущения носит как бы прыгающий характер, причем от прыжка к прыжку проходит время т. Естественно определить скорость возмущения как отношє- vt,. ние расстояния, проходимого возмущением за один «прыжок», К Промежутку времени между J^""" последовательными прыжками. Так определенная величина называется групповой скоростью возмущения. В разобранном примере это будет отношение расстояния между дву-
мя последовательными положениями макси- й ^
мума возмущения к времени восстановле- Рис. 30.
ния т. В момент времени t — 0 координата максимума хмакс(0) = 0. В момент т координата такого же максимума будет
*макс (T) = V1X -K1 = V2X -I2 = V3X -K3 = VX -К.
За время т максимум проходит путь
Xkskc (T) - *макс (0) -VX К. Следовательно, групповая скорость будет и = v — К/х, или
и = г,-кж- (8-6)
Эта формула впервые была получена Рэлеем (1842—1919) и носит его имя. На' рис. 30 приведена графическая интерпретация этой формулы, принадлежащая П. С. Эренфесту (1880—1933). На нем в координатах К, v представлен график AB прямой (8.4). Так как u = v — К dv/dX = а, то эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ВО, длина которого равна групповой скорости и. Формулу (8.6) можно записать в виде
¦ 1 dv d IV
U = V +
K d(l/k) d(l/k) \k или
d(?> ,г, „ч
и= ж. (8.7)
Легко также преобразовать (8.6) к виду
п \ 1 п да
« = + (8-8) 58
введение
[гл. i
3. Полученные результаты строго справедливы при линейном законе дисперсии (8.4) (или (8.5)). Однако, если возмущение занимает небольшую спектральную область, то эти результаты остаются приближенно верными и в диспергирующих непоглощающих средах. Возмущение такого типа называется группой волн. Точнее, группой волн называется волновое образование, занимающее столь узкую спектральную область, что в пределах этой области приращение фазовой скорости v с достаточной точностью может считаться пропорциональным соответствующему приращению длины волны X, а следовательно, приращение частоты со — пропорциональным соответствующему приращению волнового числа k. Это значит, что в пределах рассматриваемой спектральной области обе зависимости v = v (X) и со = со (k) могут быть аппроксимированы линейными функциями X и k, а именно
ю = ^o)+ (I)^-U (8.10)
где X0 — какая-то длина волны, лежащая внутри спектральной области, занимаемой группой, a U0 = 2л/X0 — соответствующее ей волновое число. При допустимости такой аппроксимации можно говорить и о времени приближенного восстановления формы возмущения т = dX/dv, и о распространении возмущения с групповой скоростью и, определяемой выражением (8.6) или (8.7). На диаграмме Эренфеста в случае группы волн играет роль только малый
