Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
(я'2 — я2) л;2 + л'V — 2я' (я' — п) qx = 0.
Допустим сначала, что я' —/г2 > 0. Тогда уравнение (9.1) представляет эллипсоид вращения с полуосями
і / я' —я
- V ITfHq-
^ я'+ я
Эллипсоид вытянут в направлении оси X. Его эксцентриситет равен
Va2 — Ь2 п е=-^-=
Изображение P' действительное. понятие оптического изображения 81
Пусть теперь л''2 — п1 < 0. Тогда (9.1) есть уравнение двуполоспюго іипер-болоида вращения с полуосями
и эксцентриситетом
п' , 1 Г п — п'
Vr а*+ Ь*
п
= — > 1. п
Изображение P' мнимое (рис. 38).
Рассмотрим, наконец, случай, когда я'3 — п' — 0. Эго может быть либо при п — п = 0, либо при п' + п — 0. Первая возможность не представляет интереса, поскольку она соответствует тривиальному случаю, когда обе граничащие среды в оптическом отношении тождественны. Вторая возможности п' = — л может быть реализована при отражении света. В этом слу-чае уравнение (9.1) переходит в
y* = <lqx (9.2*
и представляет параболоид вращения с параметром р = 2q (параболоидальное зеркало). Если q > 0 (рис. 34), то фокус P' (на рис. 34 — точка F) мнимый. Если q < 0 (рис. 33), то он действительный. Эти случаи уже были рассмотрены в тексте.
Результаты решения этой задачи указывают способ построения идеальной линзы для пары сопряженных точек, из коюрых одна бесконечно удаленная. Рассмотрим сначала линзу, ограниченную поверхностью эллипсоида вращения OB и сферической поверх- ' рис gg ностью с центром в P' (на рис. 37 эта поверхность изображена пунктиром). Эксцентриситет эллипсоида должен быть равен 1 In, где п — показатель преломления линзы относительно окружающей среды. Параллельный пучок лучей, падая на поверхность эллипсоида, после преломления на ней превращается в пучок, сходящийся в точке P'. Задняя — сферическая — поверхность линзы не меняет направления лучей, поскольку ее центр находится в точке схождения пучка P'. Таким образом, рассматриваемая линза собирает параллельный пучок лучей строго в одной точке P'. Если точечный источник поместить в P', то после прохождения через линзу пучок лучей станет строго параллельным оптической оси.
Рассмотрим далее линзу, ограниченную плоской поверхностью (на рис. 38 она изображена пунктиром) и гиперболоидом вращения с эксцентриситетом п. Параллельный пучок лучей, падающих на плоскую поверхность линзы, после прохождения через эту поверхность не изменит направления, а после преломления на поверхности гиперболоида превратится в расходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются строго в одной точке P'.
2. Найти уравнение картезианского овала (см. § 7, пункт 6).
Решение. Пусть P (q, 0) и P' (q', 0) — сопряженные точки, для которых поверхность, получающаяся от вращения картезианского овала относительно оси симметрии PP', анаберрационна. Поместим начало координат в точку пересечения овала с прямой PP', Тогда по определению анаберрационной поверхности
п V(x — q)2+y2 + п' Vix — q'f + y* = n'q' - nq: 70
геометрическая теория оптических изображений [гл. ii
Освобождаясь от радикалов, получим уравнение картезианского овала: (/г2 —л'2) (JC2 + !/2)+4 (л2 — л'2) (л'У — я2(?) (x2 + i/2) * +
+ 4лл' (Щ — n'q') (nq' — n'q) (л:2 + і/2) + 4 (я'У — rfiqY л:2 +
+ 8пп' (n' — n)(nq— лУ) qq'x = 0. ^9.3)
При определенных значениях параметров л, л', q, q' картезианской овал вырождается в поверхности второго порядка. Тогда получаются, в частности, уже разобранные ранее случаи, изображенные на рис. 32, 33, 34, 37 и 38,
§ 10. Преломление на сферической поверхности.
Сферические зеркала и тонкие линзы
1. Важнейшие из оптических инструментов или их составные части относятся к так называемым центрированным оптическим системам. Они представляют собой оптически однородные преломляющие или отражающие среды, отделенные одна от другой сферическими поверхностями, центры кривизны которых расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью системы. Обычно, если это не может привести к недоразумениям, прилагательное «главная» мы будем опускать.
2. Начнем с простейшего случая одной сферической преломляющей поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления п и п'. Можно предполагать (хотя это и не обязательно), что эта поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из прямых ОС, проходящих через центр кривизны сферической поверхности (рис. 39). Такая прямая и будет главной оптической
осью. Примем ее за координатную ось .X. Начало координат поместим в точке О, в которой главная оптическая ось пересекает сферическую поверхность.
Ввиду симметрии вращения достаточно ограничиться рассмотрением хода лучей в координатной плоскости XY. Совместим ее с плоскостью рисунка. Абсциссы и ординаты будем отсчитывать от начала координат О. Если направление отсчета совпадает с направлением распространения света вдоль оптической оси, то соответствующая абсцисса считается положительной-, в противоположном случае она считается отрицательной. То же относится и ко всем другим направленным отрезкам. Например, на рис. 39 абсцисса точки P отрицательна, а точка P' положительна. Ордината считается положительной, если соответствующая точка лежит выше оптической оси, и отрицательной, когда она расположена ниже.
