Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
участок кривой v = v (X), который можно приближенно считать прямолинейным и заменить соответствующим отрезком 'Касательной. Групповая скорость и представится длиной отрезка OB, отсекаемого этой касательной на оси ординат (рис. 31). 4. Учет высших членов в разложении
--(8.9) или (8.10) приводит к следующему
характеру распространения возмущения.
Рис- 31. Возмущение идет вперед, но его форма
непрерывно изменяется. Однако по истечении времени т =¦ dX/dv возмущение принимает форму, почти совпадающую с исходной, причем за это время оно продвигается вперед на расстояние х = их. Можно сказать, что происходит передача энергии возмущения с групповой скоростью и. По истечении последующего промежутка времени той же длительности произойдет то же самое, и т. д. Вообще, в любой момент t х возмущение воспроизводит с малыми искажениями свою форму, какую оно имело в момент t, перемещаясь за время х на расстояние их. Но если возмущение распространяется достаточно долго, то малые измене-
O групповая скорость
59
ния, претерпеваемые им за следующие друг за другом равные лро-межутки времени длительностью т, будут накапливаться и могут настолько сильно исказить само возмущение, что его форма потеряет всякое сходство с исходной.
Чтобы оценить требующееся для этого время, дополним разложение (8.10) членом второй степени по (k — k0). С учетом формулы (8.7) можно написать:
СО = CO0 + U0 (k - k0) + у ^j0 (k - k0f,
где нуликом обозначены значения соответствующих величин при k = k0. Пусть bk — максимальное значение разности k — k0. Тогда соответствующее максимальное изменение фазы, обусловленное
наличием квадратичного члена, будет
du
(bk)2. Если это изме-
dk
нение мало по сравнению с величиной порядка я, то оно мало скажется на относительной разности фаз между синусоидами, входящими в группу, и тогда форма возмущения будет мало искажаться ¦наличием квадратичного члена. Таким образом, чтобы на интервале времени t происходило периодическое восстановление исходной формы возмущения, необходимо выполнение условия
t ^ I du/dk I (66)2 • (8-11)
Если перейти к длинам волн, то это условие преобразуется к виду
^ I du/da, ива,)2' ^8'
Если же интервал времени t порядка или больше правой части этого неравенства, то о восстановлении исходной формы возмущения говорить не приходится.
5. Выше предполагалось, что плоские монохроматические волны, входящие в волновое образование, распространяются в одном и том же направлении. Рассмотрим теперь случай, когда такие волны занимают по-прежнему узкую область частот, но распространяются в разных направлениях, лежащих в пределах узкого конуса. Соответствующее волновое образование называется волновым пакетом. Его можно представить тройным интегралом
kox+Akx koy + Aky koz + Akz
E(r, t)= 5 5 5 a(k)ecw-"r)dkxdkudk2,
kox~Afcx koy-Aky koz~Akz
или сокращенно
E(rt t) = \a (^eiW-Mdk. (8.13)
Частоту со следует рассматривать как функцию волнового вектора k. Видом этой функции определяется закон дисперсии волн. Если среда 60
введение
[гл. i
изотропна, то функция со (ft) может зависеть только от длины вектора ft, но не от его направления. Но в анизотропных средах, например кристаллах, необходимо учитывать и зависимость to от направления ft. Поэтому ниже вид функции со (ft) не конкретизируется, а рассуждения проводятся в общем виде. Полагая со = со0 + + Асо, ft = ft0 + Aft, аппроксимируем Aco линейным выражением
Аш = Akx + -Aky + Akz = (и Aft), (8.14)
х у z
где через и обозначен вектор с компонентами
_ да> _ да> ____ дю ...
uX-Wx' и«~Щ,' Uz~Wz' - I0-10J Сокращенно его записывают в символической форме:
"=ж- (8-16)
После подстановки соответствующих значений в выражение (8.13) оно преобразуется в 4
E=A(r, <»•'-*•»¦>, (8.17)
где введено обозначение
А (г, t) = \ a [k) е1 (аю<-д*г) dk ==] a (ft) е*<«'-»-> Д* dft.
Отсюда видно, что в точке М, движущейся со скоростью и по закону г = ut + r0 (r0 = const), амплитуда А остается постоянной. В такой точке совершаются гармонические колебания
?— Де1 (aat — k0r) — Деі [(O)0-A0U) t—A0r0]
с частотой со0 — k0u. По истечении времени т фаза этих колебаний изменяется на (со0 — k0u) т. Если это изменение равно 2я, т. е.
2я 2л (8Л8)
Co0- к0и <a — ku'
то вектор E в движущейся точке M в любой момент времени t примет то же значение, какое он имел в более ранний момент t — т. Так как это справедливо при любом значении параметра г0, то происходит периодическое восстановление формы возмущения с периодом т, причем за это время .возмущение перемещается вперед на расстояние ит. В результате мы снова приходим к представлению о распространении возмущения с групповой скоростью и, определяемой выражением (8.16).
В изотропных средах векторы и и ft параллельны. В этом случае (8.18) легко преобразовать к прежнему виду т = dX/dg. Однако в анизотропных средах векторы и и ft, вообще говоря, не параллельны, и надо пользоваться более общими выражениями (8.16) и (8.18). групповая скорость
