Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Мы будем исследовать и такие случаи, когда показатель преломления среды меняется непрерывно от точки .к точке, а потому лучи криволинейны. Такой случай практически реализуется в электронной оптике. Здесь роль линз выполняют электрические и магнитные поля, а показателя преломления — скорость электрона (см. § 4).
3. С математической точки зрения задача геометрической теории оптических изображений сводится к определению положения изображения при любом заданном положении предмета. При этом общие свойства оптических систем удобно исследовать с помощью следующего положения. Оптические длины всех лучей, соединяющих сопряженные точки PuP', одинаковы. Это непосредственно очевидно, когда изображение P' действительное, так как тогда сферическая волна, вышедшая из Р, превращается в сферическую волну, сходящуюся в P'. Оптические же длины всех лучей от одного положения волнового фронта до другого одинаковы. Но это положение можно распространить и на мнимые изображения. В этом случае не существует лучей, соединяющих P с P'. Роль луча играет прямолинейное продолжение его в сторону изображения P'. По аналогии с мнимым изображением такое продолжение можно назвать мнимым лучом.
Оптическую длину луча следует считать положительной, когда он проходится в направлении распространения света, и отрицательной в противоположном случае. Чтобы в случае мнимых изображений избежать неопределенности, будем предполагать, что пространство изображений однородно, т. е. световые лучи в нем прямолинейны. Это не значит, что изображение P' должно обязательно получаться в том месте, где среда однородна. Требуется понятие оптического изображения
67
только, чтобы действительные световые лучи, продолжения которых сходятся в P', были прямолинейны.
После этих замечаний обратимся к доказательству нашего утверждения. Пусть лучи РАС и PBD (рис. 35), вышедшие из точки Р, на участках AC и BD прямолинейны. Их продолжения пересекаются в точке P', являющейся мнимым изображением точки Р. Волновой фронт в однородном пространстве изображений будет иметь форму сферы CD с центром в P'. Очевидно,
(PAC) = (PBD), (P' AC) = (PrBD).
Почленное вычитание дает
(PA)-(P'A) = (PB)-(P'В).
Но, согласно нашему правилу знаков,
(PA) - (P'A) = (PA) + (AP') = (PAP'),
(PB) - (Р'В) = (PB) + (BP') = (PBP').
Следовательно, (PAP') = (PBP'), что и требовалось доказать.
Доказанное свойство оптических длин эквивалентно утверждению, что сеет затрачивает одно и то же время, распространяясь
вдоль различных лучей от точечного источника до его изображения. В таком виде это утверждение называется принципом тау-тохронизма (равенства времен распространения). Принципом тау-тохронизма мы воспользуемся при изучении явлений интерференции.
Наряду с мнимыми изображениями, следует ввести и мнимые источники света, или мнимые объекты. Трчечный объект называется мнимым, если он является точкой пересечения продолжений действительных лучей, проведенных в обратных направлениях. Мнимый объект можно рассматривать как источник мнимых лучей. Из множества точечных мнимых объектов составляются мнимые объекты конечных размеров. 68
геометрическая теория оптических изображений [гл. ii
Введение мнимых объектов и мнимых лучей освобождает теорию от необходимости раздельного рассмотрения действительных и мнимых изображений. Отпадает также необходимость в раздельном рассмотрении преломления и отражения света, что имеет большое значение в теории оптических систем, содержащих большое количество преломляющих и отражающих поверхностей. Действительно, пусть P' — мнимое изображение точки Р, полученное в результате отражения света от зеркала (рис. 36). Согласно принятому нами правилу знаков, оптическая длина мнимого луча AP' отрицательна. Поэтому для оптической длины пути PAP' можно написать:
(РАР') = п\РА\-п\АР'\*=п\РА\ + п'\АР'\,
где п' = —п. Поэтому отражение формально математически можно рассматривать как преломление, если только показателю преломления п' приписать отрицательное значение (п'/п = —1).
ЗАДАЧИ
J. Две однородные среды с показателями преломления п и п' граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 37), являющейся поверхностью вращения вокруг оси OP' (оптической оси). Найти форму поверхности S, при которой она будет анаберрационной для пары точек P и P', лежащих на оптической оси, из У которых точка P удалена в бесконечность,
a P' может занимать любое положение на оптической оси.
Решение. Примем оптическую ось 'за координатную ось X, начало координат поместим в точке пересечения ее с поверхностью S, ось Y направим вверх перпендикулярно к оптической оси. Так как оптические длины лучей от бесконечно удаленной точки P до плоскости OA одинаковы, то условие анаберрационности поверхности S будет (ABP') = (OP'), или
Рис. 37. пх+п' V(x — q)* + y*=n'q,
где X и у — текущие координаты точек поверхности S, a q — абсцисса точки P'. Перенеся пх в правую часть и возведя в квадрат, находим уравнение искомой поверхности:
(9.1)
' В_?
А П
О 1X
—
