Композиты на основе дисперсно армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции - Рабинович Ф.Н.
ISBN 5-93093-306-5
Скачать (прямая ссылка):
/=Li=!__— Г\ — TT IA (3-30)
nk
Xorj = ±±2zL_-= 0,785 = n/4
2 2 - 2 7t-1 Соответственно: ApAor---7 - T .
Tl 4 Z
Следует отметить, что в рассматриваемых случаях произведение коэффициентов Я Я является в определенной мере условным. Это обусловлено тем, что коэффициент Я — это параметр, независимый от Xort поскольку количество фибр, пересекающих расчетное сечение элемента, не связано с силовым фактором. Поэтому значения Xp могут быть представлены в качестве самостоятельных величин. В свою очередь, коэффициент Xor, характеризующий вероятность отклонения усилий в фибрах от направления внешней силы, не может рассматриваться в дискретной системе армирования изолированно, т.е. без учета совокупности фибр (их части от общего количества), которая пересекает расчетное сечение и обеспечивает реальную работу элемента в этом сечении. Исходя из этого, коэффициент Xor корректнее представлять в виде:
X=XX (3.31)
or or р 4 '
где Xor — величина, определяемая не как самостоятельный параметр, а интегрально с учетом X', Xor — условное значение коэффициента ориентации, являющееся выражением функции углов между направлениями усилий в фибрах и действующей внешней силы. Исходя из этого, выражение, входящее в формулу (3.21), целесообразно также выражать в виде: _
X=XX =X XX (3.32)
red or an or р an Л 7
При этом значения Xorjt приведенныев формулах (3.28) и (3.30), также следовало бы отнести к условным параметрам и выразить их какХ . Тем не менее, для методов качественного анализа значения Xor могут представлять интерес и, как будет показано ниже, их использование упрощает расчеты, связанные, например, с оценкой характера изменений этих коэффициентов при различных стадиях напряженно-дефор-мированного состояния армированного материала.
Как видно, первая расчетная схема основывается на геометрическом отображении предпосылок, связанных с определением коэффициентов Я и Xor и устанавливает исходные данные для проведения расчетов.
Далее представлен вывод формул для определения рассматриваемых коэффициентов, включая интегральное выражение Xort по второй расчетной схеме.
Плоско-произвольная ориентация фибр.
На рис. 3.11 ,а ось у включает отрезок dy с потенциальной возможностью его пересечения фибрами, центры которых распределены в круге, принадлежащем рассматриваемой плоскости о единичной толщины. Будем считать, что под углом ср площадку dy пересекают те и только те фибры, центры которых лежат в части круга, выраженной параллелограммом длиной Ij. Площадь параллелограмма равна
s = Iposipdy (3.33)
Если nf— плотность распределения центров фибр, то nfd<p/n— плотность центров тех фибр, которые лежат в угловом интервале dtp, где <р — угол вдоль оси х.
Отсюда следует, что количество фибр, пересекающих площадку dy под углом (р и лежащих в угловом интервале d<pt равно:
-^-If Qoscpdcpdy п
(3.34)Суммарное количество фибр, пересекающих площадку dy при изменении ср от -л/2 до +л/2, равно:
Yl n^2 2
kpdy = —lfdy Jcos(pd(p = —nflfdy.
71 -я/2 71
Соответственно, количество фибр, пересекающих единичную площадку по оси у, отвечает выражению:
у TZjj
Если і-тая фибра наклонена под углом ср к оси х, то усилие которое она способна воспринять равно Nfcoscp, где Nfi = OfiAfi (Afi — площадь сечения фибры).
Из (3.34) следует, что усилие, которое могут воспринять все фибры, пересекающие площадку dy под углом (р и лежащие в угловом интервале dcp, равно:
nf 7
Nf-If Cosz cpdcpdy (3.35)
л
Суммарное усилие, которое способны воспринять фибры, пересекающие площадку dy при изменении ср от -л/2 до +л/2, равно:
п 71,2
Nf-Ifdy Jcos2Cpdq) (336)
Л
-nil
при этом интеграл
' 7Г / 2 _ Tl
-л! 2~~2
ті 0 Г 2 Г Ф COS 2ф J cos (pd(p = — +-—
-ті 2 2
(3.37)
С учетом (3.37) выражение (3.36) равно:
КЛ = іNfnflfdy (3.38)
Из (3.38) следует:
Kr=^NfnfIf (3.39)
Так как nf= 4jifZnd2If )Л учитывая, что Nf= CfAfi где Af— площадь сечения фибр, пересекающих dy, с учетом (3.39) получим:
- 1
= (3-4°)
Объемно-произвольная ориентация фибр.
На рис. 3.11, б, исходя из факта симметрии, изображено 0,5 шара, содержащего центры фибр, которые способны пересечь площадку do в плоскости о. Положение каждой фибры в шаре, пересекающей площадку do, характеризуется двумя углами (р и її/, где ер — угол между фиброй и направлением по оси ц/— угол между проекцией фибры на плоскость со и осью
Поскольку площадь поверхности полусферы равна 2п, то плотность распределения фибр, которые образуют углы ср и ^и лежат в телесном угле dr) равна:N
Рис. 3.11. К определению численных значений коэффициентов Я и Xor для свободной (без стеснения) плоско-произвольной (а) и объемно-произвольной (б) ориентации волокон (фибр)^L сіл = — sin (pdcpdy/ In 2 n
где dr] = sincpdcpdy/ — элемент площади телесного угла на единичной сфере.
Как и в случае плоско-произвольной ориентации находим, что количество фибр, пересекающих площадку do под углами <р и у/ в угловом интервале dq> и dy/ равно: