Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Такая модель, совпадающая с моделью, применяемой в предложенной Гайтлером
и Лондоном теории молекулы водорода, не может дать проводимости, так как
в ней предполагается, что электроны не могут пройти друг над другом, а
вероятность того, что целый ряд электронов сделает одновременный скачок,
чрезвычайно мала.
Однако использование такой модели в случае металла не столь нелепо, как
это может показаться на первый взгляд. Мотт и Джонс (46] показали, что в
ферромагнитных металлах, в которых атомные
g 2. ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
191
3d- и 45-уровни лежат очень близко друг к другу, оба эти состояния
следует рассматривать как частично заполненные. Если рассмотреть только
Зй-состояния, то они приведут к очень узкой полосе, так как перекрытие
волновых функций соседних атомов мало, в то время как 45-состояния сами
по себе дадут широкую полосу. Если бы мы построили блоховские волновые
функции по методу, изложенному в гл. 4, § 2, надлежащим образом исправив
их так, чтобы они включали различные атомные состояния, то мы бы нашли,
что такие волновые функции в общем случае представляют смесь d- и s-
состояний, но при этом в полосе проводимости будет существовать малая
область, в которой основную роль будут играть 3d-co-стояния. Поэтому мй
можем различать с достаточной точностью 3d-и 45-электроны даже в
кристалле, причем Мотт и Джонс показали, что за ферромагнетизм
ответственны главным образом 3d-3AeKTpOHbi, в то время как 45-электроны,
которые образуют более широкую полосу и поэтому имеют большие скорости,
могут считаться ответственными за проводимость. Модель Гайтлера и Лондона
будет применяться только для описания Sd-электронов.
Чтобы пояснить процедуру, мы примем, что каждому атому соответствует одно
электронное состояние, и рассмотрим линейную цепочку атомов.
Если бы атомы были достаточно разделены, то состояние системы следовало
бы описывать при помощи атомных волновых функций ?"(¦*) (п- номер атома),
в которую явно входит лишь координата х валентного электрона, а кроме
того, спиновой функции X|i этого электрона, где р. означает какую-то
проекцию спина и может равняться 1/г или -1/2. Теперь мы можем задать
определенное состояние, зафиксировав проекцию спина каждого атома, т. е.
введя набор чисел jxx, |а2, ..., jxjy; для краткости мы будем обозначать
весь этот набор чисел символом {р.}.
Волновая функция, соответствующая этому набору, имеет вид
где xlt х2, xn - координаты N электронов, Xii, (0 - спиновая функция
первого электрона с проекцией спина р.х. Функция (8.10) антисимметрична
по электронам в соответствии с принципом Паули; множитель перед
детерминантом обеспечивает правильную нормировку.
Если мы теперь поместим атомы на конечном расстоянии друг от друга, то
функция (8.10) уже не будет собственной функцией энергии, так как она не
учитывает взаимодействия каждого из
'PiWXmO) <P*(*i)Xh(0 •••
, (8.10)
9i (*") Xm.. (N) Ъ (xn) fo, (N)... cpN (xN) x,ln(N)
192
|'Л. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
электронов с полем других атомов и с электронами, которые в них
находятся. Поэтому мы должны отыскать наилучшую комбинацию функций типа
(8.10), которая с достаточно хорошей точностью дает полное решение; чтобы
это сделать, мы поступим так же, как и в гл. 4, § 2, и будем
мииимизирозать математическое ожидание полной энергии.
Введем линейную комбинацию
^== S Л{р}Ф{ц}; (8.11)
{">
определим коэффициенты А, отыскивая минимум энергии Е - Е
(?*(//~?°)W) S Л*{и}А{|*'}(Ф*{П(//-?)Ф{(*'"
0 (VT)
(8.12)
где Н-гамильтониан, а круглые скобки означают интегрирование по
электронным координатам и суммирование по спиновым переменным. Величина
Е0 обозначает энергию системы N изолированных атомов. Выражение (8.12)
является стационарным, если А удовлетворяет уравнению
НЕ-?0)(Ф*ЫФ{ ^ })-(Ф*Ы (Я- Е0) Ф {ц' )))А {ц'} =0.
Образуя произведение дзух функций типа (8.10), получаем некоторое
количество членов, содержащих произведение различных атомных волновых
функций
<Р"(*)СР "'(*)• <8-14)
Для п Ф п' эти произведения всегда малы, так как в соответствии с духом
нашего приближения мы считаем расстояния между атомами бблышши, чем
атомный радиус, а перекрытие функций незначительным. Поэтому наибольшими
членами будут те, в которых мы берем соответственные члены из обоих
детерминантов, так что электрон, который в одном множителе соответствует
га-му атому, соответствует тому же атому и в другом множителе. Такие
члены возникают, однако, лишь при jv = У(tm) так как в противном случае
спиновые функции ортогональны. Поэтому наиболее существенным членом в
(8.13) является член, в котором {[/} = {у}. При этом наибольшие члены
дают:
(Ф*{^}Ф {ji})= 1; (8.15)
(Ф* {|а} (Я - Е0) Ф {;*}) = 2 а". "'> (8.16)
где пфп' у '
а". "' = J* / | ?п (*) I21 ?"' (*') I2 X
X [и* (x)+^V{x, x^ + ^W^dxdx' (8.17)
i 2. теория дпиновых волн, одномерный случаи
193
есть среднее изменение энергии ге-ro электрона, вызываемое присутствием
атома Величина U,j(х) обозначает потенциал сердцевины атома как и в гл.
