Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
очень мало.
Некоторые указания, однако, могут быть получены из следующего
рассуждения, принадлежащего Блоху [10]. Мы рассмотрим только те волновые
функции, которые состоят из одного детерминанта (8.10), и ограничимся
следующими двумя случаями:
202
ГЛ. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
а. Электроны заполняют нижние N/2 орбитальных состояния, причем в каждом
состоянии находятся два электрона, которые, конечно, должны иметь
противоположные спины. Этому состоянию соответствует полный спин, равный
нулю. Функцию в виде такого детерминанта мы обозначим через Ф0.
б. Электроны заполняют N нижних состояний, причем в каждом состоянии
находится один электрон. Кроме того, мы будем считать, что все спины
параллельны. Полный спин равен N/2, и соответствующий детерминант мы
будем называть функцией Фда.
Эти функции являются решениями уравнения Шредингера для нашей системы,
когда взаимодействие между электронами не учитывается. Поэтому для
нахождения математического ожидания энергии мы должны добавить к энергии
отдельных частиц диагональный элемент электронного взаимодействия.
В этом случае волновые функции отдельных частиц ортогональны, поскольку
являются различными решениями одного и того же уравнения Шредингера, а
следовательно, детерминант (8.10) нормирован правильно. Это ясно из того,
что после возведения функции в квадрат для каждого из N1 членов в первом
множителе будет существовать только один не ортогональный к нему член во
втором множителе, а именно тот, в котором из каждого столбца берется тот
же самый элемент. Интеграл от квадрата каждого члена, очевидно, равен
единице, так что множитель 1/ЛП дает как раз правильную нормировку.
Теперь рассмотрим диагональный элемент от энергии
где i и j относятся к двум электронам, a rit - расстояние между ними.
Рассмотрим какой-либо определенный член первого детерминанта. Не равные
нулю интегралы могут возникнуть от двух членов второго детерминанта, а
именно от того же члена, что и в первом множителе, в котором электроны I
и j появляются в волновых функциях с волновыми векторами к и к' и имеют
соответственно спины р и р', и от члена, в котором они переставлены.
Первый равен
а (к, к') = / I (г) I21V (г') |2 d3r dV, (8.44)
а второй представляет собой обменный интеграл
- If (к, к') = J* (г) (г') -1> к (г') <!*- (г) [r^f/) d3r d3r', (8.45)
если спины р. и [а' одинаковы, и равен нулю, если они различны (в силу
ортогональности волновых функций).
S 4. МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВИЗИРОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 203
Складывая эти члены и суммируя (8.43) по всем I и /, находим
математическое ожидание полной энергии в случае функции Ф0:
2{2?(k) + S"(k. k')--jT(k> к')), (8.46)
где сумма берется по тем значениям к, которые относятся к N/2 нижним
собственным значениям Е (к). Второй член представляет собой
электростатическое взаимодействие средней электронной плотности с самой
собой и должен быть опущен, поскольку это взаимодействие уже было учтено
в определении потенциала для отдельной частицы (см. гл. 4). Ввиду этого
энергия в состоянии Ф0 равна
2 ЩЕ (к)-12-г (к, к')). (8.47)
Таким же образом можно найти среднюю энергию в состоянии Фда
(2^(k)-YS"r(k> к'))- (8-48)
Очевидно, что первый член в выражении (8.48) больше, чем в (8.47), так
как мы переместили электроны в состояния с большей энергией. Второй член
в (8.48) также будет больше, поскольку сумма содержит теперь N* членов, в
то время как в (8.47) число членов равно Л7(r)/4; это изменение
перевешивает множитель 2 перед скобкой. Какое из этих состояний даст
меньшую среднюю энергию, зависит от отношения энергии обмена к энергии
отдельных частиц.
Чтобы получить представление о количественной стороне полученных
результатов, рассмотрим случай свободных электронов. При этом имеем
Т(к, кО = щ?Ёкту2, (8-49)
где V - объем [см. (6.65)]. Следовательно, выражение (8.47) станет равным
° (ЙО"
о у Г (рь fa а Г d3к d3к' ,g
4 J 2m (2я)* J |к -k'l2' К
1 к I < *0 | к I < *0
I к' I < ".
где
.3 /о К1\
к0 = -у-. (8.51)
После вычисления интегралов находим, что энергия на единицу объема равна
(8*52)
204
ГЛ. 8. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Аналогично для Фц имеем
2<8-53) Второе из этих выражений будет меньшим, если
и ^ Ътё3 2*/з-2 /0 К/|ч
'"<13"5г=г- (8-54)
Отсюда следует, что состояние, в котором все электронные
спины параллельны, будет основным состоянием системы, если
электронная плотность достаточно низка.
Этот результат является не более, чем указанием на имеющуюся тенденцию, и
отвечает тому факту, что обменная энергия, которая стремится расположить
спины параллельно друг другу, возрастает при увеличении электронной
плотности медленнее, чем кинетическая энергия Ферми-газа, для которой
более выгодны противоположные спины. Таким образом, для возникновения
ферромагнетизма предпочтительна малая электронная плотность (малые k0).
Если считать, что этот результат справедлив и для электронов в
периодическом поле, то формула (8.54) показывает, что для ферромагнетизма
выгодна большая эффективная масса; это действительно имеет место для
