Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
f 5.4]
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
75
(5.4.2) получаем
X = _ JL 6 cos Є, у.=--UOsine. (5.4.3)
Интегрируя, находим
і = -?-(-sine+ 4), у =-t(cos 9 +Я), (5.4.4)
где Л и 5 — постоянные, определяемые начальными условиями. Далее имеем
ху — ух = а. (5.4.5)
Подставляя выражения для х и у из (5.4.4), приходим к соотношению JL- ж (cos 9 + В) — -? у (- sin 9 + Л) = а. (5.4.6)
Поскольку X cos 0 -f У sin 9 = г, уравнение (5.4.6) можно переписать в виде
г = - Bx + Ay + (а2/». (5.4.7)
Таким образом, орбита представляет собой геометрическое место точек, расстояние которых от точки О пропорционально расстоянию до кривой
- Bx + Ay + (а2/ц) = 0, (5.4.8)
т. е. орбитой служит коническое сечение с фокусом в точке О и директрисой, выражаемой уравнением (5.4.8). Эксцентриситет е равен ]/А2 + В2.
Длина хорды кривой (5.4.7), параллельной директрисе, равна 2а2/р,, так что если удвоенный фокальный параметр конического сечения обозначить через 2р, то можно написать
a2 = yip. (5.4.9)
Далее, с помощью (5.4.4) находим
е2 = А2+.В2 = (у sine)2 + (у у -cose)2 = = 1 J (х2 + У'2) —•^r (ху — ух) =
= 1 + W {I + »*> - 7-} = 1 + '"-f h> <5A10>
где
h = -j(xt+yt)—^r (5.4.11)
— полная энергия, сохраняющая постоянное значение. Таким образом, в соответствии с неравенством A^O
е^1. (5.4.12)
Наконец, подставляя значение а2 = ц./> в соотношение (5.4.10), находим
A = -J-j (еа-1). (5.4.13)
76
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
ГГл. V
Для эллиптической орбиты е-
где 2а
1, р = а (1-е2) и, следовательно, h- —-U-
(5.4.14)
длина большой оси эллипса *). Для параболической орбиты е = 1 и
A = O. (5.4.15)
Для гиперболической орбиты е > 1, р = а (е% — 1) и
* = (5.4.16)
Формулы (5.4.9) и (5.4.14) (или (5.4.16)) являются классическими формулами, выражающими форму и размеры орбиты через постоянную энергии h и постоянную момента количеств движения а.
§ 5.5. Уравнение Кеплера. Из теоремы о сохранении момента количеств движения следует, что быстрота изменения площади, ометаемой радиус-
1
вектором, постоянна: за каждую секунду ометается площадь, равная у а.
В случае центральной орбиты эта площадь пропорциональна времени, что
позволяет получить соотношение между координатой частицы на орбите и временем.
Рассмотрим эллиптическую орбиту. Период гг равен 2А/а, где А — площадь эллипса, так что
_ 2ла6 _ 2ш2 У і — в2
2л п
(5.5.1)
где среднее движение п равно У(\і/а?).
Время прохождения частицы от перигелия А до точки P эллипса определяется из соотношения
а
(5.5.2)
Рис. 8.
где б — площадь эллиптического сектора ASP. Эллипс можно рассматривать как ортогональную проекцию некоторой вспомогательной окружности (рис. 8). Как известно, отношение площадей при ортогональном проектировании не меняется. Таким образом, если Q — точка окружности, проекция которой есть Р, то
(5.5.3)
где б' — площадь кругового сектора ASQ1 а А' — площадь круга. Площадь сектора ASQ равна площади сектора ACQ минус площадь треугольника CSQ:
(5.5.4)
У = у a2w —|. а2е sin w,
где w — эксцентрический угол в Р, составленный отрезками CQ и CA. Таким образом, приходим к равенству
t
"о"
A'
w— е sinu) 2я
(5.5.5)
*) Приводимое здесь, а также в §§ 5.5 и 5.6 краткое исследование эллиптического движения можно было бы в значительной степени расширить. Но даже с учетом добавлений, сделанных в § 18.12, оно не может удовлетворить специалиста-астронома. Подробное изложение этого вопроса можно найти в курсах астрономии; см., например, книгу [29], гл. IV.
§ 5.6]
СТОЛКНОВЕНИЕ
77
которое с учетом (5.5.1) дает
nt = w — е sin w. (5.5.6)
Это соотношение носит название уравнения Кеплера; в § 5.2 оно нами было получено другим способом. Уравнение Кеплера устанавливает связь между координатой частицы на эллиптической орбите и временем.
Приведенный вывод уравнения Кеплера, возможно, является наиболее естественным, поскольку в нем используется эксцентрический угол. Однако уравнение Кеплера можно получить и не основываясь на геометрии эллипса. Один такой способ нами уже был указан в § 5.2. Приведем еще более простой вывод. Если за координатные оси взять оси эллипса, то координаты его точки будут равны a cos w, Ь sin w. Если теперь перейти к новым осям, параллельным этим, но с началом в точке S, то будем иметь
X = a (cos w — е), у = Ь sin и? (5.5.7)
п
abn = а = ху — ух — ab (1 — е cos w) w, (5.5.8)
или
п = (1 — е cos w) w, (5.5.9) и мы снова приходим к формуле (5.5.6).
Полярные координаты г, 9 легко выразить через угол w. Отсчитывая углы от линии SA, получаем
г = а (1 — е cos w), (5.5.10)
tg±Q = ktg±-w, (5.5.11)
где к = ~^/~Соотношение между г и t можно получить, например, исключая w из (5.5.6) и (5.5.10) (см. § 18.14).
§ 5.6. Столкновение. Вернемся к задаче двух тел. Рассмотрим случай, когда а = 0: частица (в относительном движении) движется по прямой, проходящей через точку О. Без потери общности эту прямую можно выбрать в качестве оси Ох. Уравнение энергии (при х > 0) имеет вид