Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
[Гл. V
причем угол G отсчитывается от перигелия. Если, как обычно, написать
п = а (1 - е). r2 = а (1 + е), (5.2.59) то уравнение примет вид
Z = l+ecos9, (5.2.60)
где р = а (1 — е2). Мы получили уравнение эллипса с эксцентриситетом е и фокальным параметром р. Поскольку п + r2 = — иУА, постоянная энергии А равна
h = — ,і/(2о). (5.2.61)
Координата г определяется из уравнения
г2 = p. (r2 - г) (г - г0/(аг2). (5.2.62)
Введем параметр w.
1 1
г -= у (г2 4- г і)---2 (г2 — г,) cos w = а (1 — ecosw), (5.2.63)
так что w есть эксцентрический угол, отсчитываемый от перигелия. Имеем j/~-~-dt = г dw = а (1-еcos w)dw. (5.2.64)
Интегрируя, получаем
п (t — t0) = W — е sin w, (5.2.65)
где через п обозначена величина ]/ цУа3 — среднее движение. Соотношение (5.2.65) известно как уравнение Кеплера; оно выражает связь между положением тела на эллиптической орбите и временем.
Пример 5.2С. Теорема Ньютона о вращении орбиты. Рассмотрим теперь движение, возникающее при наложении на гравитационное поле дополнительного притяжения mv/r3. Чтобы решить эту задачу, заменим функцию 95 на функцию
а функцию / (г) — на функцию /4 (г):
/,(,.) = 2^-28-1--5—, ' <5-2-67>
где A1, (Xi — постоянные энергии и момента количества движения в новом движении. Если положить
A1 = A, aj = a2 -I- V, (5.2.68)
то функции Ji (г) и / (г) окажутся одинаковыми. Чтобы убедиться в том, что движение с такими значениями A1 и Oc1 возможно, рассмотрим апсиду первоначальной орбиты, в которой г = с и скорость равна и.
Если в той же начальной точке сообщить частице под прямым углом к радиус-вектору скорость, равную U1:
и\ = и2 4 V/с2, (5.2.69)
то будем иметь
A1 = 1MJ + S3 (с) - == у «2 г 95 (с) = А, aj = c2u\ = C2M2 -)- V = a2 -f- V, и условия (5.2.68) будут удовлетворяться.
(5.2.70)
•S 5.3]
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
71
Если в обеих задачах при t = 0 принять 9 = 0, то связь между (иг "будет одной и той же. Если в первоначальной задаче орбита задается уравнением
г = ср (9), (5.2.71)
то в новой задаче она будет описываться соотношением
ф(-^9)=Ф(М), (5.2.72)
где к2 = a2j^y < 1 • Чтобы достигнуть значения г, соответствующего 9 = 90
в первой орбите, радиус-вектор во второй орбите должен повернуться на больший угол: %/к. Поэтому влияние дополнительного притяжения можно представить как вращение первоначальной орбиты.
§ 9.3. Сферический маятник. Точка движется под действием силы тяжести по гладкой сфере радиуса а. В качестве лагранжевых координат возьмем полярные углы 9, ф радиус-вектора, причем отсчет угла 9 будем производить от вертикали, направленной вверх. Уравнения энергии и момента количества движения запишутся в виде
1
у та2 (92+ sin2 9ф2) -\-mga cos 0 = const = mgah, (5.3.1)
sin2 8 ф = const -= y2ga/a, (5.3.2)
где h и а — безразмерные параметры (не являющиеся действительными значениями постоянных энергии и момента количества движения). Будем предполагать, что ф ^ 0. Высота энергетического уровня над центром сферы равна ah. При h<C — 1 движение невозможно; кроме того, требуется, чтобы a ^ 0.
Решение почти не отличается от решения в примере 5.2В. Исключая ф из (5.3.1) и (5.3.2), находим
Обозначив cos 9 через z, запишем это уравнение в следующей форме:
^ z2 = /(Z), (5.3.4)
где
/ (z) = (h — z) (1 — z2) — а. (5.3.5)
Уравнение (5.3.4) связывает z и t и принадлежит к уже знакомому нам типу (1.2.10).
Чтобы определить траекторию точки на сфере, необходимо иметь соотношение, связывающее ф и г; такое соотношение имеет вид
d<p = * т/ее^ (5.3.6)
т 1 — Z2 У a 1 — Z2 T//(z)
Полученные результаты можно представить в следующей компактной форме:
hat=-*== (і-*д*р а (5.з.7)
« V/ (z) У а
Рассмотрим движение, соответствующее заданным значениям h и а. Нужно, чтобы h > — 1, а > 0. Если h = — 1, то единственным возможным
Y
72
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
значением а является нуль, в этом случае точка находится в покое в наинизшем положении на сфере.
Построим график полинома третьей степени / (z) (рис. 6). Кривая / (z) имеет максимум в точке z = z0:
Z0
=4{а-Ка2+з}
(5.3.8)
.При возрастании h от —1 до оо z0 увеличивается от — 1 до 0. Ордината кривой в точке Z0 равна
/ Ы = ф (Щ - а, (5.3.9)
где
Ф (A) = 27 i(h* + 3)3/2 + ^h-W}.
Чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство / (z0) 0, т. е. чтобы
0<a<i|>(A). (5.3.10)
Весьма удобный способ классификации различных возможных движений можно получить, построив вспомогательную диаграмму в координатах h, а
f(Z)
-1
?
-ос
Рис. 6.
Рис. 7.
(рис. 7). На этом рисунке изображена кривая a = i|> (?). Допустимые значения h, а, удовлетворяющие неравенствам (5.3.10), соответствуют точкам, расположенным в незаштрихованной области плоскости, а также на границе этой области. При построении кривой следует иметь в виду, что при А —>- оо
Классификацию орбит теперь произвести просто. Имеется три класса кривых, удовлетворяющих следующим условиям:
