Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
в
Таким образом, величина четверти периода
4 с= Jf (5.2.15)
о 0
*) Приближенный способ вычисления периода колебания простого маятника с помощью обычных арифметических и геометрических методов впервые предложил А. Е. Ингам.
§ 5.2]
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
65
заключена между пределами а
га J Т/а2_Є2 ' sine re J т/а2_е2
0 у 0 '
а значение о—между пределами
*L и (5.2.17)
п п V sin a v '
?]сли амплитуда составляет 5°, то значение |/приближенно равно
1,0007 и классическое значение 2л/п отличается от точного менее чем на одну десятую процента.
Можно получить более точную оценку периода, если воспользоваться одной теоремой, относящейся к арифметическому и геометрическому средним значениям. Пусть а и Ъ — два заданных положительных числа, таких, что а > Ъ > 0. Образуем две бесконечные последовательности {ат} и {Ът} по следующему правилу: а0 = а, bo = Ъ; при в, представляет собой
среднее арифметическое чисел ат_^ и Ьг_і, а 6Г — среднее геометрическое этих же чисел. Последовательность {аг} тогда будет монотонно убывающей, а {br} — монотонно возрастающей, и при г оо обе эти последовательности стремятся к одному и тому же пределу Li. Для каждого значения г справедливы неравенства ат >Li > Ьг, и величина аг+1 аппроксимирует ц. с ошибкой, меньшей чем у (аг — br).
Рассмотрим теперь интеграл
я/2
J (a, Ь) = I <Ю -^ (5.2.18)
J Т/а2 cos« 6 + 62 sin2 Є
С помощью подстановки
SInO =-Г-г-Г-;--- (5.2.19)
а+ 6+(а— 6) sin2 ф v '
докажем, что
/ (а, Ъ) = / (A1, bi). (5.2.20)
Продолжая этот процесс, убедимся, что для всех значений г
/ (а, Ъ) = / К, M- (5.2.21)
Значение / (аг, br) лежит между пределами -^— и , каждый из которых стремится к значению -^-; таким образом,
J(a,b) = ^. (5.2.22)
Для того чтобы оценить быстроту сходимости, можно воспользоваться равенствами
8ar+ J (аг — Ът) = (аг-і — йг-і )2 (5.2.23)
и
2 (аг ± M = {Va~r~~[ ± УХ-7)2. (5.2.24)
Первое из них получается сразу, если заметить, что левая и правая части порознь равны 4 (а? — Ъ\).
Пользуясь этими результатами, найдем приближенное значение периода ста, соответствующего амплитуде а (0 < а < л). Обозначая через сг0
5 л. А. Парс
66
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
период малых колебаний, получаем из (5.2.3)
я/2
-^-= — f 1
o0 л J Т/1 — >
dQ
Vi —A2Sin2 9 '
где & = sin-^-a, и, следовательно,
(5.2.25)
(5.2.26)
причем а=1 и Ь = к' = cos у а. Первые несколько членов последовательностей {аг} и {Ьг} имеют следующий вид:
Ъ0 = cos у а,
1
а0= 1,
1 /л I 1 \ 2 1 и ( 1 \1/2
«I = Y ll + cosyal =cos а, O1= I cos-^-а) »
«2 = Т (1+ (С03Та)1/2}2= (5.2.27)
If , 1 , / 1 \ 1/2-1 , 1 / 1\1/4
"IT I с T а~^" \C0ST а] I' 2 = C0ST а \cos T а)
If 1 , / ІХІ/4-12
аз = "4 |cosTa+ (cos у а] | .
В качестве приближенного значения для можно взять 1/аг или i/bT. Чтобы оценить величину относительной ошибки, введем параметры бг и ег:
7-=^г(і+вг) = ^(і-ег).
(5.2.28)
Тогда, учитывая соотношения а\ — 6^+1 = «r (ат — Ъг) иаг +6r+1>ar + 6r = 2аг+1, находим
0<6 __ar—M- ^ аг — 6г+1 ___ аг(аг— Ьт) ^.ДгК-Ц
(5.2.29)
Полагая г= 2 и пользуясь (5.2.23), можем написать Здесь
iV:
= |у — cosy j4 — (sin^- 8, О = 2?*=-- 2е (cos-^ а)4 cos-ia.
(5.2.31)
Кроме того,
О < 4^ = 7—<1, (5.2.32)
и, следовательно,
1 / 1 1 \ ^ 0<е2<62<-— (sin-^atg-^aj ,
(5.2.33)
26 cos — a
Обозначим правую часть последнего неравенства через т). Это неравенство справедливо для 0<а<л, но при а, слишком близких к я, оно стано-
вится бесполезным. Если же О < а<Г-— я, что представляет наиболее интересный случай, то правая часть неравенства (5.2.33) будет максимальной
§ 5.2]
НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
67
1
cos2Ta si»2?a і (5.2.34)
1/2+1 " Т/2-1 2 "1/2 и
л - V2" 1 У2 1
1I- 2» (1/2+1)« " 29(99+70 1/2) ^ 2«.70 ' (O.t.oO)
поскольку (99)2 — (70 У 2)2 = 1 > 0. Окончательно будем иметь
-?-= { / 'і чіл»}*1 + 8»)- 1 / l-TTTT^1-62)- (5-2.36) 1+1 cosy a I cos-^-a I cosy a I
Здесь
0<є2<б2<т1<-1іїіг. (5.2.37)
Для большей части приложений такая точность вполне достаточна, но если требуется более высокая точность, можно взять IZa3, что даст ошибку
1
2-10Ю *
Пример 5.2В. Центральная орбита. Выберем центр притяжения за начало координат, а в качестве лагранжевых координат возьмем полярные координаты точки г, 9. Силовыми линиями здесь будут радиусы, а эквипотенциальными линиями (ортогональными семейству силовых линий) — окружности г = const. Потенциальная функция будет зависеть поэтому только от г; обозначим ее через т25 (г), так что 5? будет потенциальной энергией единицы массы. Сила притяжения md^?/dr также будет зависеть только от г. Если мы имеем поле сил притяжения к точке О, то 25 (г) является монотонно возрастающей функцией от г.
