Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
помощью его составляющих: r(t) =x(t)Z-|-y(t)/-fz(t)fe. Скорость изменения
г
dr dx _ , dy
СКОрОСТЬ ~.. <*i- I. __
есть dz -
движения точки:
0(t) =
dt dt i+dt
-\-~k=xt-\-y]-{-zk Скорость является векторной функцией,
зависящей в общем случае от времени. Если некоторый вектор а изменяется
со временем, то, вообще говоря, изменяется не только его значение, но и
направление Например, на рис. М22 изображены радиусы-векторы для двух
точек А и В траектории, в которые попадает движущаяся точка
27 Заказ 259
417
У
Рис. М22
М4.4. Приводим примеры производных от функций.
Линейная функция: x(t) = at+b (рис. М23), где
, dx
b - постоянные: тг~ = а.
dt
Рис. М23
Степенная функция: x=at", где а - постоянная, п-
бое число: -j- -ant"-1, dt
Тригонометрические функции:
. , dx , , .
x=asint:-^p =acost (а - постоянная);
, dx . ,
x=acos t: -г- =-asm t; dt
x=atgt: = a/cos2t.
418
а и
лю-
Обратные тригонометрические функции:
t=arcsinx (т. е. x=sint): = -х2;
t = arctgx (т. е. x=tgt): =1/(1+х2).
М4.5. Экспоненциальная функция: х=аея*(=а exp(at))> где е - основание
натуральных логарифмов, а и a - постоянные: =aae='t( = aaexp(at)).
dx
Логарифмическая функция: x=lnt:~ =l/t.
М4.6. Сложные функции. Если некоторая величина f зависит от переменной
величины х, которая, в свою очередь,, зависит от аргумента t, то f
является сложной функцией t:
Примеры, а). f=ae_at2(s= a exp (-at2)) .Обозначим at2=x,
г rr df dx п ,
т. е. 1 = ае-х. 1огда - =-ае_х, - = 2at,
следовательно,
ax at
•jj- =-2aate_ctt2(=-2aat exp(-at2)).
6).f=asin(cot+a), где а, со, а - постоянные. Обозначив
, dx df df
cot+a = x, так что тг- = ь>. тогда -т- =acosx и -77-=
dt dx dt
= aco cos(cot+a).
M4.7. Производная суммы, произведения, дроби. Пусть u(t) и v (t) -
некоторые непрерывные функции t. Если
dx du . dv
X = U+V, то ж = ж + ж .
Если X = u(t)v(t), то - = ж V+U - ,
Если x=u(t)/v(t), то ^ ^ V- j /V2.
Пример. Найти скорость vx, если x=at2sincot, где а и ю - постоянные.
dx
Решение: vx= - = 2at sin (cot) -f-acot2 cos (cot).
27* 419
М4.8. Частные производные. Пусть функция f зависит от нескольких
независимых аргументов, например, от трех координат x,y,z: f=f (х, у, z).
Тогда частной производной от
f по х (обозначается называется функция от х, у, z,
которая получается, если функцию f продифференцировать по х по правилу
М4.1, считая при этом у и z независимыми постоянными.
Пример 1. f (х, у, z) - 2x2y+3xyz. Найти .
Решение: =4xy+3yz.
Пример 2. f-2x2y-|-3xyz. Найти
о & _
Решение: = 3ху.
М4.9. Полный дифференциал df функции f(x, у, z) есть
лг dl , , д\ , , д{ ,
ЙГ +d7 у+*
М4.10. Векторные операторы. Градиентом скалярной функции f(x, y,z)
называется вектор grad f= ^-1+ .+?*•
Дивергенцией вектора а(х, у, z) называется скаляр
diva= pL + djT- ¦
дх ду аг
Ротором вектора а(х, у, г) называется вектор
' - & - Ь) (t - ?) 1+ (а? - W) *¦
Это выражение легче запомнить, если записать его правую часть в виде
дётерминанта:
М5. Интегрирование
М5.1. Неопределенный интеграл. Если функция F(x) такова, что ее
производная равняется f(x), то F(x) называется
dF
первообразной для функции f (х), т. е. - =f(x). Так как
4.(^1 ={(х), то вместе с F(x) первообразной
dx dx
Д|ля f(x) будет F(x)+C, где C = const. Общее выражение для первообразной,
содержащее произвольную постоянную, называется неопределенным интегралом
от функции f(x) и обозначается Jf(x)dx. Итак, / f (х) dx=F(x) +С, где
F(x) - первообразная от f(x). х
Таким образом, интегрирование - это действие, обратное дифференцированию.
'
Расчет интеграла называется взятием интеграла. При решении элементарных
задач обычно пользуются таблицами' интегралов. Их можно найти в физико-
математических и инженерных справочниках и в специальных таблицах.
Приводим несколько часто встречающихся неопределенных интегралов.
М5.2. Значения неопределенных интегралов (а=const,t n - целое число):
1. / x"dx = xn+1/(n+l)+С;
2. / yjTdx- 1/(2ух)+С;
3. Jsin(ax)dx=-cos(ax)/a+C;
4. / cos (ах) dx=sin (ах)/ос-f С;
5. / e^dx=e*x/a-fC;
6. Jdx/x=lnx+C;
7. / xe^xdx=ectX(x/a-il/a2)+C;
8. / dx/x2= - 1/x+C; ______
9. / dx/ (x2-|-a2)1 y2-In(x+-|/x2+a2) -|-C;
10. / dx/(x2-f a2)3-2=x/(a2yx2-f a2)+C.
M5.3. Определенный интеграл. Пусть известна скорость
изменения координаты х : ~ =v(t) (индекс х у V, для
простоты опускаем). Поставим задачу: найти x(t), если известна функция
v(t). Для решения этой задачи построим график функции v(t) (рис. М24).
№
V
Промежуток времени от а до b разбиваем "а N частей:
Ati = t,--ti_i, где to=a, ti, W=b - последовательные
моменты .времени. Если все At* малы, то за время от t*-i до ti можно
считать скорость неизменной, например, равной Vf. Тогда за время At*
точка пройдет путь приблизительно равный: Asi^ViAti, а путь, пройденный
точкой за промежуток времени между а и Ь, приблизительно равен: Sab~ N
" 2 ViAtj. Это приближенное равенство будет тем более i='l
точным, чем меньше все At*, и при стремлении всех At, к нулю, а N - к
бесконечности в пределе получим точное равенство:
