Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
b
Sab= lim Sv(tf)Ati= / v(t)dt Atj-j-0 i a
N->-00
- определенный интеграл от функции v(t) между пределами а и b.
Таким же образом строится определенный интеграл для
b
любой функции переменной величины х: {f(x)dx.
а
Если v(t) изобразить графически в виде кривой (см. рис. М24), то
построение интеграла означает, что фигуру, -ограниченную отрезком ab оси
t, ординатами в точках а и b и графиком функции v(t), мы заменяем
совокупностью прямоугольников с основаниями At,- и высотой Vi. Тогда
v,At, есть площадь одного маленького прямоугольника, а SviAtj приближенно
равна площади фигуры аАВЬ. В преде-
i
т
ле получаем точное значение этой площади, так что b
{v(t)dt геометрически означает площадь фигуры аАВЬ. а
Из построения интеграла как предела суммы видно, что b а
{ f(x)dx = - { f(x)dx. а b
Можно вывести следующие свойства интегралов: b b
{ af (х)dx=a { f(x)dx; а а
b b b
/ [f(x)±g(x)]dx= { f(x)dx± { g(x)dx.
a a a
M5.4. Если нужно посчитать путь, пройденный не за промежуток времени от а
до Ь, а за промежуток времени от а до т, где т - некоторый момент времени
между а и Ь, то
х
S (т) = { v(t)dt.
а
Ясно, что с изменением т изменяется и S(r).
Можно доказать, что S(t)-непрерывная функция т и dS (т) , ,
"е производная - ¦ =у(т), т. е. производная от опре-
dt
деленного интеграла по верхнему пределу, равна подынтег-
т
ральной функции. Следовательно, |v(t)dt есть первообраз-
0
т
ная для подынтегральной функции, и поэтому |v(t)dt =
О
=iF(t)+C (где F(t)-первообразная для v(t), С - константа). Положив в этом
равенстве т=а, найдем: С =-F(a), т
т. е. / v(t)dt = F(-r)-F(a). Приняв т==Ь, получим формулу
О
b '
{ v(t)dt=F(b)-F(a), а
которая является основной формулой для вычисления определенного
интеграла.
423
М5.5. Определенный интеграл получают из неопределенного путем подстановки
в найденную при взятии его функцию значений верхнего и нижнего пределов и
вычислении их разности.
3 3
Пример. J\2dx=x3/3| = З3/3- 13/3=26/3.
1 1
М5.6. Значения определенных интегралов (a=const, п - целое число):
1 f е-ч2Х2 d^== |ехр(-а2х2)с!х=Уя/(2а);
оо оо
о о
оо
2. |хехр(-a2x2)dx=l/(2a2);
О
ОО
3. / х2 ехр (¦-а2х2) dx=т/л/ (4а3);
О
оо
4. { x2n ехр(-a2x2)dx=y^ 1 • 3-5 -... • (2п-1)/
О
(2n + 1a2n + 1).
М5.7. На основании данных рис. М24 можно получить следующую формулу
(которая может быть выведена строго): а+(Да
при |Да|с|а| / f(x)dx"f(a)2Aa.
а-Да
Мб. Криволинейный интеграл
М6.1. В физике встречаются векторные характеристики, значения которых
определены на некоторой линии в пространстве. Примером может служить
сила, действующая на точку, движущуюся по траектории.
Разобьем траекторию точки О (рис. М25) на N участков А1г, настолько
малых, что в пределах данного Дтраекторию можно считать прямой линией,
совпадающей по направлению с касательной к
424
ней, а силу, действующую на точку О, пока она движется по участку Д/"
одной и той же Fi. Тогда работа ДА,-, совершаемая силой Fi на участке
траектории А1г, определяется по формуле ДА, = FггД/г (см. п^ 6.2. гл. 1),
где Fи - тангенциальная составляющая силы F, (т. е. ее проекция на
касательную в точке i). Полную работу А при перемещении точки из
положения а в положеьие b по траектории приблизительно можно получить
суммированием всех ДА*, т. е.
N
А^ 2 ДА,. Точное значение работы находят в пределе при i=l
N
переходе Д/,->-0 и N6->-oo: А= lim Е FitAli=
AU-^0, N->oo i = 1
b
= /F((/)d/. Здесь F((/) -тангенциальная составляющая си-а
лы в точке i; I - длина траектории, отмеренная от некоторой начальной
точки 0 до точки, в которой берется сила Ff (/); dl - элемент длины
траектории.
Подынтегральное выражение можно представить в следующем виде. Поскольку
значение тангенциальной составляющей силы F равно F cos а, где а - угол
между F и касательной, удобно ввести вектор dZ, модуль которого равен dI,
а направление совпадает с условно выбранным направлением касательной, т.
е. направление обхода по кривой - движение по траектории в одном
выбранном направлении. На рис. М25 это направление указано в точке О. При
таком выборе обхода угол а в точке i меньше 90°, и, следовательно,
проекция силы Fa положительна. Тогда Ftdl=(F,dI), т. е. подынтегральное
выражение есть скалярное произведение векторов F и dl.
Итак, работа А на участке ab А= { Fdl. Здесь ин-
L(ab)
теграл берется по кривой L траектории ab. Для того чтобы взять такой
интеграл, необходимо знать уравнение траектории и зависимость F(l).
Методы расчета подобных интегралов приводятся в курсе интегрального
исчисления.
М6.2. Криволинейный интеграл может быть взят от любой векторной функции F
(она должна удовлетворять всем требованиям существования криволинейного
интеграла) и по любой кривой L (тоже удовлетворяющей тем же требованиям,
но не обязательно выполняющей' роль траектории).
425
М7. Поверхностный интеграл
М7.1. Пусть в каждой точке некоторой поверхности S задан вектор F(r).
Выберем на этой поверхности бесконечно малую площадку dS и введем вектор
