Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Проинтегрировав его еще раз, получим общее решение (общий вид искомой
функции):
М9.4. Произвольные постоянные Ci и С2 следует находить из так называемых
начальных условий. Начальными условиями могут служить заданные значения
искомой функции x(t) в разные моменты времени (x(ti)=xb x(t2)=x2) или
значения x(t) и i(t) в начальный момент времени (x(t0)=x0, i(t0)=vo) и
некоторые другие условия. Подставив в выражение (3) ti и хь а также t2 и
х2 или в выражение (2) to, vo и в выражение (3) to, хо, получим два
алгебраических уравнения для нахождения двух неизвестных произвольных
постоянных Ci и С2.
М9.5. Если правая часть уравнения (**) содержит х (а тем более х), его
решение требует знания специальных приемов интегрирования (т. е. решения)
ДУ. Их изучают в соответствующих математических курсах.
М9.6. В физике часто встречаются векторные характеристики, для нахождения
которых строят векторные ДУ. Примером может служить уравнение Ньютона:
^=/f(t)dt+C
(1)
(2)
x(t)- / g(t)dt+Cit+C2.
(3)
(4)
429
где m - постоянная величина; F(F, t) - известная функция; r(t)-искомый
радиус-вектор; t - переменный аргумент. Функцию F (г, t) можно
представить как векторную функцию скалярных аргументов x(t), у (t), z(t)
и t, при этом F (х, у, z, t) = Fx (х, у z, t) 7+Fy (х, у, z, t) J+Fz (х,
у, z, t) k. Спроектировав левую и правую части уравнения на оси координат
х, у, z (при этом равенства сохраняются), получим три уравнения:
d2x 1т--/ d2y 1с/ 4Л
= - Ь*(х, у,z, t), = - F"(x, у, z,t),
d2z ]
Полученные три ДУ второго порядка в общем случае не являются
независимыми, так как их правые части (Fx, Fy, Fz) зависят от всех трех
искомых функций х, у, z. Интегрирование такой системы уравнений нужно
проводить совместно; вообще говоря, это сложная математическая задача.
При решении каждого из этих уравнений получаются две произвольные
постоянные, которые следует определять из начальных условий, например, из
заданий в некоторый начальный момент to координат x(t0) = хо, У(М=У<>.
z(to) = = z0 и скоростей i(to)=Vox, "/(to)=Vov, z(to)=Voz.
В тех случаях, когда F зависит только от времени t или когда составляющие
силы зависят только от соответствующих координат (и времени), т. е. F* =
Fx(x, t), Fv= = F"(y, t), F2 = Fz(z, t), уравнения становятся
независимыми, и каждое из них можно решать отдельно. При этом задача
существенно упрощается.
М10. Некоторые сведения из теории вероятностей
М10.1. Случайным называется событие, о котором имеет смысл говорить, что
оно произойдет или не произойдет. Например, случайным событием является
выпадение определенного очка при бросании игральной кости, попадание пули
в определенное место мишени и т. д. Разные события могут происходить с
разной частотой. Например, хороший стрелок чаще попадает в центр мишени,
чем на ее периферию. В некоторых случаях эта частота зависит от условий.
Например, плохой стрелок может почти равномерно заполнить площадь мишени.
430
Мерой частости наступления события служит его вероятность. Если произошло
п случайных событий, из которых m обладают интересующим нас свойством, то
при большом числе п отношение m/n может стать постоянной величиной, не
изменяющейся с ростом п. Тогда говорят, что р = т/п есть вероятность
появления интересующего нас свойства (события).
Если m = n, т. е. интересующее нас событие появляется всегда, говорят,
что оно достоверно, если т = 0 ¦- оно невозможно. Очевидно, что O^p^l.
М10.2. Пусть некоторая случайная величина может иметь несколько числовых
значений: хь х2,..., х", которые появляются, вообще говоря, с разными
вероятностями. Тогда вероятность р можно считать функцией величины х, т.
е. p/i = W(xft). Появление величины xh будем называть событием Afe. Часто
бывает так, что появление события Aft исключает появление любого другого
события Аг. Тогда суммой событий Aft-j-A; называют появление любого из
этих двух событий (или хь, или х;). Вероятность p(Afe-|-A/) = р (Aft) -|-
р (A;) =W(xft)-j-W(xi). Очевидно, что вероятность по-
п
явления любого из значений хи, т. е. 2 W(xft), есть досто-
к=1
верное событие и, следовательно, 2W(xft) = l. (Если пределы суммы
опущены, следовательно, суммирование проводится по всем возможным
значениям )
М10.3. Если случайная величина принимает непрерывный ряд значений х в
каких-то пределах или от -оо до -j-оо, то говорят о вероятности того, что
величина лежит в пределах х, x-j-dx. Вероятность эта dW(x) =w(x) dx, где
w(x) - плотность вероятности или функция распределения. Очевидно, что
Jw(x)dx=l, если интегрирование ведется по всем значениям х. Это равенство
называется условием нормировки функции плотности вероятности w(x).
М10.4. Если две случайные величины А и В независимы, но не исключают друг
друга, то произведением двух этих событий АВ называется наступление их
совместно. При этом р(АВ) =р(А)р(В). Если А принимает значения Xft, В -
значения у;, то
w(xfe, уi) =w(xft)w(хг).
Для непрерывных независимых случайных величин w(x, у) = = w(x) w(y).
