Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мелёшина А.М. -> "Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе" -> 140

Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.

Мелёшина А.М., Зотова И.К., Фосс М.А. Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе — В.: ВГУ, 1986. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): posobiedlyasamostoyatelnogoobucheniya1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 147 >> Следующая

направлениями векторов а и В (рис. М15); направлен он по перпендикуляру к
плоскости распо-
ложения векторов а и В так, что три вектора а, В, с составляют
правовинтовую систему. Очевидно, что [В, а] = =- [а, В]=-с. Если векторы
направлены вдоль одной прямой (у=0° или 180°), то sinv=0 и [а, й]=0.
Таким образом, [а, а]=0, в частности [7,7]=0. Так как орты составляют
правовинтовую систему, 1= [Ь к]. Остальные векторные произведения
получаются из этой формулы круговой перестановкой (т. е. заменой 7->-/-:
fe=[7, /], J=[?, Ц. Очевидно, что [/, 7] =>-k, и т. д.
Имеют _место формулы: [а±5, с] = [а, с]±[Ь, с];
[аа, 5] = а[а, В\.
Легко получить выражение для векторного произведения через составляющие
перемножаемых векторов:
[а, В] = (ауЪг- azbv)Z-f(azb*- a*bz)/-f (ахЪу-ауЪх)Б.
413
Формулу векторного произведения легче запомнить, если записать ее правую
часть в виде детерминанта:
i j k
3.x &у az
Ья Ъу Ъг
раскрыв который, вы убедитесь в тождественности этого выражения и
предыдущего.
Вместо указанного обозначение векторного произведения иногда используют
следующее: [а, ft] = aXt>.
М3. Недекартовы системы координат
М3.1. Сферическая система координат.
Для указания положения точки А в пространстве вместо трех координат х, у,
z можно использовать три другие
координаты г, х, ф (рис. М16). Строятся они так. Из центра О радиусом ОА
проводим сферу, на которой лежит точка А, так, что радиус этой сферы г
может служить одной из координат. Если через точку А провести большую
окружность (лежащую в плоскости, проходящей через центр сферы), то угол х
между радиусом ОА и осью z определит положение точки А на этой окружности
и может служить второй ее координатой. Сама окружность получается как
сечение сферы плоскостью, проходящей через ось z под углом ф к оси х.
Угол ф является третьей координатой. Задавая три величины г, % и ф, мы
точно фиксируем положение точки А в пространстве. Эти координаты
называются сферическими. Пределы значений сферических координат: 0^г<оо,
0^ф^2я, О^х^л.
Из геометрических соображений легко найти связь между координатами х, у,
z и г, %, ф: х=гэт%созф, у=
= rsin%sir^, z=rcos)(, а из тригонометрических соотношений - обратные
выражения. Можно показать, что элементу
414
-объема dxdydz в сферических координатах соответствует выражение г2 sin 1
drd/ckp.
М3.2. Полярная система координат.
Если на движение точки наложены геометрические связи, то для описания ее
положения требуется меньше трех координат. Так, если движение происходит
в плоскости, для его описания достаточно двух координат. Это могут быть
декартовы координаты х и у. Иногда удобнее ввести полярную систему
координат, которая получается из сферической, если положить х=90° (рис.
М17). Очевидно, что при этом х= г cos ф, y=r sin ф.
Пределы значений полярных координат: 0^г<°о,
0^Ф^2я.
МЗ.З. Для описания плоского математического маятника (точка, подвешенная
на стержне и движущаяся в одной плоскости, рис. М18) достаточно одной
координаты, например, ф.
Рис М18
ЛИ. Дифференцирование функций
Л14.1. При движении точки в пространстве ее координаты (радиус-вектор)
изменяются с течением времени t. Математически это значит, что координаты
(радиус-вектор) являются функциями времени: x=x(t), у=у(t), z==z(t) (или
r=f(t)). Координату как функцию времени можно изобразить графически,
выбрав двумерную систему координат, в которой по оси абсцисс
откладывается аргумент t (время), а ло оси ординат - фунвдия (координата)
(рис. М19).
415
X
Рис М19
Рис М20
В классической механике координата x(t) (или r(t)) является непрерывной
функцией t Скорость изменения координаты есть производная
dx = lim Ax/At = lim [x(t-f-At)-x(t)]/iAt. dt At->-0 At->-0
Геометрически производная
dx
dt
равна тангенсу угла на-
клона касательной в данной точке к положительной оси t-
dx dx
- =tgoc На рис М19 в точке А -гг >0, так как угол dt dt
между касательной и положительным направлением оси t
dx
меньше 90°. На рис. М20 в точке В <0 (соответствую-
dx
щий угол больше 90°) Если х=const, то =0.
Очевидно, что, вообще говоря, производная ^ при
разных значениях t различна, т е является функцией вре-
dx
мени: = Vx(t) Скорость изменения координаты vx(t)
также можно дифференцировать по времени, при этом по-
dv d2x
лучается ускорение: a* (t) = , которое тоже мо-
416
dx
жет зависеть от времени называется производной пер-
d2x
вого порядка, -jp- =х-второго и т д
'М4.2. Если кривая x(t) изгибается, то "а ней возможны точки максимума и
минимума (рис. М21, точки А и В) Значения t, соответствующее максимуму
(ti) и минимуму (t2) кривой x(t), в которых касательные параллельны оси
t,
dx
определяются из условия -г- =0
Рис М21
Условие
dx
dt
= 0 обеспечивает экстремум (максимум или
минимум) Какой это экстремум, определяют по второй про-
d^x d2x
изводной если >0, то это минимум, если <0 -
максимум.
М4.3. Рассуждения, аналогичные изложенным в М4 2, Можно провести для
координат у и z Зависимость радиуса-вектора r(t) от времени описывается с
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed