Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
Котангенсом (ctg) угла а называется отношение ctga== = cos a/sin a.
Ml.5. Из определения прямых тригонометрических функций (sin, cos, tg,
ctg) следует (см. рис. Ml), что они являются периодическими функциями с
периодом 2л, т. е. значения такой функции для угла а и угла а+2лп, где п
- любое целое число, в точности совпадают.
MI.6. Графики тригонометрических функций представлены на рис. М 8 и М 9.
С
Рис. М5
Рис Мб
Рис М7
409
Рис М8
Рис М9
Ml.7. Между тригонометрическими функциями существуют соотношения, которые
используют при вычислениях. Приведем некоторые из наиболее часто
встречающихся соотношений:
cos2a+sin2a= 1,
sin (a±p) =sin a cos p±cos a sin p, cos(a±p) =cos a cos p+sin a sin p,
sin a-{-sin p = 2sin[(a+p)/2]cos [("-P)/2]. sin a-sin p=2cos]
(a+P)/2]sin[(a-p)/21, cos a+cos p = 2cos[(a-f P/2]cos[(a-P)/2], cos a-cos
p = -2sin[ (a+p)/2]sin[ (a-p)/2], cos 2a= (1-tg?a)/[l+tg2a].
M1.8. Функцией, обратной функции x=sina, является угол а, выраженный
через х- a=arcsinx. Это угол, синус которого равен х. Аналогично
a=arccosx-угол, косинус которого равен х.
Ml.9. Между обратными тригонометрическими функциями существуют
определенные соотношения, например: arcsin х = л/2 - arccos х, и т. д.
Для обратных тригонометрических функций имеются таблицы, по которым можно
найти значения угла, соответствующего значению тригонометрической функции
(синуса, косинуса и т. д.).
М1.10. Из соотношений между тригонометрическими функциями выводится
следующее соотношение для косо-угольного треугольника (рис. М10):
с=Уа2+Ь2-2ab cos у.
Рис. М10
410
М2. Векторы
М2.1. В физике часто пользуются декартовой системой координат. Выбор
начала координат и направления двух осей (например, х и у) в этой системе
диктуется соображениями удобства для вычислений, третью ось (например, z)
обычно ориентируют так, чтобы направления осей х, у, z составляли
правовинтовую систему (рис. Mil). В декартовой системе координат
положение точки в пространстве определяется значениями трех координат х,
у, z или радиусом-вектором г, проекции которого на оси координат (т. е.
Рис- МИ
его составляющие) равны координатам х, у, z. В дальнейшем векторные
характеристик^ будем обозначать черточкой 'над буквой. Буква при этом
символизирует длину вектора (модуль вектора).
Для выражения г через его составляющие вводятся орты- единичные векторы
(модули которых равны единице), направленные вдоль положительных
направлений осей х, у, г и обозначаемые г, J, k соответственно. Тогда
r=x7+yj+zft, где х, у, z - проекции вектора на оси координат. Если
радиус-вектор лежит в плоскости (х, у) и угол, образуемый его
пересечением с осью х, есть а, то проекции г на оси х, у есть x=r cos ос,
у=г sin ос.
Радиус-вектор всегда направлен из начала координат в ту точку, положение
которой он определяет. В физике часто встречаются и другие векторы
(например, вектор скорости), начало которых (точка приложения) не
совпадает с началом координат (например, вектор силы приложен к той точ-
ке, на'которую эта сила действует).
Всякий вектор а определяется его числовым значением (мы будем говорить
"значением") |а| и направлением. Вектор -а отличается от вектора а
направлением: он направлен в противоположную сторону.
М2.2. Любой вектор а можно выразить через его проекции на оси (рис. М12):
a=a.xi-\-ay1-\-a.zk, где ах=хв-хА> ау=ув-у a, az=zB-zA; хв, хА, ув, ... -
составляющие радиусов-векторов гв и гА соответственно.
411
Рис. М12
М2.3. Сложение и вычитание векторов показано на рис. М13 и М14. Нетрудно
убедиться, что достаточно усвоить сложение векторов (рис. М13), а
вычитание (рис. М14) можно произвести с помощью формулы с~г5=а.
Рис М13
Рис М14
М2.4. Вектор а можно умножить на скаляр а (число или функцию,
характеризующиеся только значением и знаком) При этом получается вектор
аа, значение которого (модуль) равно |а||а| (модуль а| всегда
положителен), а направление или совпадает с направлением вектора а (если
ос>0), или противоположно ему ^если а<0).
М2.5. Скалярное произведение (а, Б) двух векторов есть скаляр, имеющий
значение |а||5|соэу, где у-угол между направлениями векторов а и Б.
Скалярное произведение часто записывают в виде двух стоящих рядом
векторов: (а, Б)^=а5.
412
Из определения скалярного произведения вытекают следствия:
1) (а, В) = (В, а);
2) если векторы взаимно ортогональны (v=90°) то (а,б)= 0;
3) скалярный квадрат вектора а2=>(а, а) = а2, так что модуль вектора |
а\ = а=У (а, а);
4) (а±5_, с) = (а,_с)± (В, с);
5) (аа, В) = а (а,ft), где а - скаляр.
На основании этих следствий для ортов выполняются следующие соотношения:
72 = /2 = fe2=il; (7, /) = (7, fe) = (fe, ]) =0.
Скалярное произведение двух векторов через их составляющие получают с
использованием свойств ортов: (а,В) = ==ахЬж+ауЬу+а2Ь2. В частности,
g2=ax2-\-ay2-\-az2. Поэтому r2=x2-)-y2-f-z2, т. е. r=yx2-|-y2+z2.
М2.6. Векторным произведением [а, 5] двух векторов а и В называется
вектор с. Длина вектора с равна |а| |ft| |sina|, где а - угол между
