Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить возможность, на осноиании последних результатов, исследовать интегральное уравнение с произвольным ядром Af(s> /), ,мы воспользуемся теоремой сходимости § 2 предыдущей главы. 110
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. III
Аппроксимируем ядро К(s, t) равномерно последовательностью выродившихся ядер Ay(s,t), A2(s,t),____ An(s,t) к рассмотрим одновременно с интегральным уравнением (1) аппроксимирующие интегральные уравнении: г
/(ф=? W-ItUll(M) ?(<)<«. (17)
Тдгда (при заданном \) возможны два случая.
Случай I. Уравнение (17) имеет при всякой функции f(s) решение pfl(s) для бесконечно большого числа значений п (можно, впрочем, считать: для всех значений п, если опустить неподходящие аппроксимирующие уравнения и изменить нумерацию), и для всех этих решений имеет место неравенство (ря, ря) = Lzn ^ М, где M—число, не зависящее от п.
Случай II. Сделанное выше допущение не имеет места. В таком случае для надлежащим образом выбранной функции f(s) либо
а) решение Pfi(S) действительно существует для бесконечно большого числа значений п (можно допустить: для всех значений п), но (Pn1Pn) = c^00. либ°
и-» oo
б) такое решение, вообще, существует лишь для конечного числа значений п (или, как мы снова можем допустить, ни для какого значения я), а следовательно — на основании теорем Фредгольма, справедливых для выродившихся ядер, — однородное интегральное уравнение:
0 = cp(s) —Aft(M) <р ('M' (18)
имеет нормированное решение o„(s) длй всех значений и.
В случае I функции p„(s)—f(s) представлены истокообразно при помощи ядер An (s, t). Согласно § 1 представленные таким образом функции равномерно' ограничены и равностепенно непрерывны. Поэтому функции рn(s) определяют, в силу нашего принципа сходимости, непрерывную предельную функцию ф (s), как предел равномерно сходящейся частичной последовательности. Совёршая предельный переход непосредственно в интегральном уравнении (17), обнаружим, что предельная функция ср (s) - удовлетворяет интегральному уравнению (1). Таким образом интегральное уравнение (1) в случае I разрешимо, какова бы ни была функция f(s).
В случае II а) делим интегральное уравнение (17), в котором <р = ря,
на сп и полагаем — = ап, так что имеет место равенство:
Сп
^ == on (s) - * j ая (m) а„ № ;
в случае II б) замечаем, что уравнение (18) удовлетворяется при ф = оя. Однако в обоих случаях функция On нормирована, и таким образом,
f(s)
аналогично предыдущему, функции on(s) — ——и, соответственно,функ-ции cn(s) равностепенно непрерывны и равномерно ограничены и, еле- §3
Теоремы Фредгольма для произвольного ядра
111
довачельно, определяют предельную функпию <J)(s), как предел равномерно сходящейся частичной последовательности. Эта предельная функция необходимо нормирована и удовлетворяет однородному интегральному уравнению:
<P(s) = l^K(s,t)<p(t)dt. (5)
Таким образом в случае II однородное интегральное уравнение имеет нетривиальные решения, которые мы назовем в согласии с определением, данным на стр. 104 и след., собственными функциями. -
Для того чтобы отсюда вывести формулированные в § 2 теоремы Фредгольма, вспомним замечание, сделанное в § 1, что дйя каждого значения 1 может существовать лишь конечное число г линейно независимых собственных функций. При г= 0 случай II, очевидно, не может возникнуть, так как он всегда ведет к нормированному решению уравнения (5), а следовательно, имеет место случай I1 т. е. интегральное уравнение (1) имеет решение, какова бы ни была функция f(s) на левой стороне. Это решение однозначно, ибо не исчезающая разность двух решений давала бы, противно предположению, нетривиальное решение уравнения (5). Этим самым доказана первая теорема Фредгольма.
Пусть, во-вторых, г> 0, и пусть ф^ ..., фг — взаимно ортогональные нормированные решения уравнения (5). Тогда в силу того, что Ап~~>К ]), для функций
(/=1,2, ...,г; я= 1,2, 3, ...)
выполняется соотношение 8Я,(.(«)=>0 при п—>оа.
Если теперь положить
г
An (s, t) =An (s, t) -L -L 2 К,, (S) Ф, (0.
А 1=1
то функции А'п (s, t) являются выродившимися ядрами, равномерно аппроксимирующими ядро К(s, t).
Легко видеть, что для всех ядер А'п (s, t) г функций ф^(s) являются собственными функциями.
Больше чем г линейно независимых решений при достаточно большом п быть не может. В самом деле, если' бы функции фг+1 „ (s) представляли последовательность таких решений, которые мы можем полагать
нормированными и ортогональными к функциям ф,,ф2.....ф,, то на
основании нашего принципа сходимости мы получили бы решение уравнения (5), ортогональное к функциям ф„ ф2, ..., фг, н следовательно, линейно независимое от этих функций, противно предложению, что г есть точное число линейно независимых собственных функций.
') Мы употребляем при случае знак—»¦ как сокращение для сходимости. Подобно этому, если желательно подчеркнуть равномерность предельного перехода, мы будем пользоваться Лвойной стрелкой —>. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
