Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
задаче на максимум, то максимум X2 =— не может быть больше
P2
прежнего максимума х,, т. е. X3=^X1 и р, 1?. Существование решения этой задачи на максимум можно доказать точно тем же методом, которым мы воспользовались для первого собственного значения, а именно сведением к квадратичной форме и предельным переходом. Удобнее, однако, нижеследующее непосредственное сведение задачи к определению первого собственного значения другого ядра. Составим функцию:
KuM = KM-(35)
и будем ее также рассматривать как симметрическое ядро. Согласно только что полученному результату, задача о максимуме интегральной формы:
J M (?, <Р) = Jjfff1) (s, t) <Р (S) <р (0 ds dt = го3*== ~ (36)
при добавочном условии (tp, ср) = 1 решается функцией ф2 (s), удовле* творяющей однородному интегральному уравнению:
ф2(*)=Р^<а)(М)Ф2(0<Я; (37)
мы предполагаем при этом, что и форма /(jj(<p, f) еще способна при* нимать положительные значения, так что X2 ^>0. Перепишем уравнение (37) в следующей форме:
ф2(?)=Р2 Jfffo *)Ф2(0dt-P2^p (ф2, (I)1),
помножим на ф, (s) и интегрируем по s; в двойном интеграле изменим порядок интегрирования и воспользуемся равенством (ф1, ф5) = 1, тогда, правая сторона обращается в нуль, и мы получим:
(Фі. Ф,) = 0, (38)
т. е. собственная функция ф2 (s) ортогональна собственной функции ф1 <s). Как следствие этого имеем:
Jff fo 0 Ф2 (0 ff(i)(s. t) Ф2(0 dt, (39)
и, стало быть, функция фa(s) является также собственной функцией ядра К(s, t), a ц2—соответствующим собственным значением;
ф, (*)==; H2 Jfffo^H2 <40) 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
Так как в силу соотношения (ф2, (Jj1) = O мы можем определить у.2 и как максимум интегральной формы jr1 (tp, <f>) при добавочном условии (4>, ф,) = 0, а в этом случае J3 (<р, tp) = J(tp, (р), то функция (J)3 решает также и задачу на максимум, поставленную в начале этого пункта. Таким же образом можно продолжать далее, построив ядро:
*я (*, о=*т с,.) - ЬИЬ» в - ™ - ™. (4,)
* ' и« ці у>л
и искать максимум интегральной формы:
h (Ь V) = j j ¦К (2) («• О tP (S) tP (0 dt (42)
в предположении, что эта форма еще может принимать положительные значения. В качестве решения точно так же, как и еьішє, получаются
нормированная функция <J>3(s) и максимальное значение "/.3 = —, которые
Г %
удовлетворяют интегральному уравнению (J)3 (s) = ji l Ar (s, t) (t) dt и
соотношениям ортогональности ((Jj3j(J)1) = O, (ф3, (J)2) = 0. Мы могли бы также получить это решение, поставив задачу: сообщить первоначальной интегральной форме максимум с помощью нормированной функции, ортогональной функциям (J)1 и ф2. Как и выше, имеем Jx2 ^ jx,„
Этот процесс продолжаем так дальше и притом безгранично, если получающиеся при этом ядра АГ(]), ЛГ(2), К(гу ... постоянно приводят к интегральным формам, которые могут принимать положительные значения. Если же в получающемся ряде ядер появляется первое ядро:
••• Jm - <43)
для которого постоянно Jm ((р, <р) ^ 0, то процесс обрывается на собственной функции (J)m(S) и ее собственном значении цт.
Резюмируем полученный вывод: наименьшее положительное собственное значение Ji1 ядра K(s, t) есть обратное значение максимума Z1, принимаемого интегральной формой 7(tp, ср) при дополнительном условии (<р, (р)=1. Этот максимум достигается для первой собственной функции (P = (J)1 ядра K(s,t). Положительные собственные значения p.h
(? = 2, 3,___), расположенные в порядке возрастания, определятся
тогда последовательно (рекуррентно) как обратные значения максимумов принимаемых интегральной формой 7(<р, <р) при добавочных условиях:
(<р, <р)=1, (р, (J)v) = 0 (v= 1, 2, ... , h— 1).
Этот максимум хЛ достигается для Л-й собственной функции <р = (J)a. Ряд положительных собственных значений обрывается, как только в последовательности поставленных задач на максимум появляется одна такая, в которой форма 7(<р, ср) уже ие может принимать положительных значений. § 4 Симметрические ядра и их собственные значения
119
Подобно положительным собственным значениям и соответствующим фундаментальным функциям, можно теперь получить также ряд отрицательных собственных значений и соответствующих фундаментальных функций: Jji1, Jji 2,___; <|>_r(s), <|>_2(s),___в том случае, если интегральная форма ./(ср, ср) способна принимать отрицательные значения. Для этого достаточно рассмотреть задачи на минимум, соответствующие поставленным выше задачам, на максимум. Мы придем таким образом к бесконечной или обрывающейся последовательности отрицательных,
никогда не возрастающих собственных значений
^ (44)
и соответствующих взаимно ортогональных собственных функций
Ф-lfs), $_2(S),.V
Собственные функции (s) (h 0) ортогональны собственным функциям 0). Это можно заключить из обоих равенств:
номножив первое на (s), второе на вычтя одно из другого
н проинтегрировав, принимая во внимание, что K(s, t) ==K(t, s), получим;
а это равенство, в силу того, что y.h=/=y._h, и означает требуемую ортогональность.
