Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
В предположении, что форма J способна принимать положительные значения, поставим себе задачу на нахождение максимума: найти нормированную функцию f(s), для которой J (<р, <р) принимает возможно большее значение.
В силу ограниченности интегральной формы J(<p, <р), безусловно,
существует для ее значений верхняя граница X1 = у-; требуется доказі
зать, что эта положительная верхняя граница действительно достигается для надлежащим образом выбранной функции ср (s). Для этой цели аппроксимируем ядро K(s,t) выродившимися симметрическими ядрами
ViI <"> <"> (")
Ан (S.0 = 2d cLtPi (S) <°Л (0. cIU = Hi i,k=і
описанного в конце § 1 вида. Соответствующая сказанному выше задача на максимум для интегральных форм
Jn (Ъ <Р)=j j" К (s, t) <р (S) <р (t) ds dt
при дополнительном условии (25) оказывается равносильной соответствующей задаче для квадратичной формы от qn переменных, так как, полагая
(<р, (O1) = X1 (/=1, 2.....qn), §4
Симметрические ядра и их собственные значения
US
получим:
Qn
Jn(V^) = Yd xtxk, (28)
i, A=I
т. е. квадратичную форму относительно X1jX2, ... , Xgn, которой надо сообщить максимум при соблюдении добавочного условия (25). Но применяя неравенство Бесселя (гл. II, § 1, 3) к функции у (s) и ортогональной системе O1(S)jW2(S), <?gn(s), имеем:
Qn I=I
следовательно, переменные формы (28) подавно подчинены условию
Qn / = X
и, стало быть, максимум достигается формой, когда
Qn «=1
так как в противном случае значение Уп (tp, ф) можно было бы увеличить посредством умножения переменных Xt на подходящего множителя. Очевидно, перед нами в точности постановка вопроса задачи о преобразовании к главным осям из гл. I, § 3. Максимум формы достигается для системы значений JC1, лг2, ... , Xqn, удовлетворяющей уравнениям:
Qn
2 с ^ xk=-AlnXi (Z = 1,2,..., «7J, (29)
fc=i
причем коэфициент пропорциональности X1 п равен как раз Jn (у>, Это можно обнаружить, помножив уравнение (29) на Xi и просуммировав по Z. Тогда правая сторона обратится в х]я, ибо
Qn
2>?=i. i=i
между тем как на левой стороне получится наша форма Jn(y, <р). Если впредь подразумевать под Ar1, х2, ... , хЧп эту систему значений и если положить
?!. (*) = xI t0j (*) + ю2 (*)+¦•• + xQn aQn («).
причем Nfn= 1 (в силу ортогональности функций (Ov и в силу равенства 2 л2=1), то из уравнений (29) вытекает соотношение:
(30)
л1я J
8* 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
и наоборот. В самом деле, из уравнения (29) получим (30), помножив на со.(s), просуммировав и заметив, что X1 = (сря, (Oi), а из уравнения (30) получается уравнение (29) после умножения Hacof(S) и интеграции. Таким образом функция <рп (s) является фундаментальной функцией ядра An (s, t),
принадлежащей собственному значению Ji1 „ = —:
?Л*) = ^Ля(М)<ря(0<«. (31)
Пусть теперь п безгранично растет. При этом X1n должно стремиться к пределу X1, соответствующей положительной верхней границе формы J(f, <р). В самом деле, из соотношения:
IK(s, O-^jr(M)Ke
при условии, что (<р, вытекает на основании неравенства
Шварца, что
ф)-J11 ft, <р)]»<*>(*—«Р,
г
где а и Ь — пределы интеграции. Таким образом совокупность значений Jn (<р, ср) при достаточно большом и как угодно точно совпадает с совокупностью значений У((р, <р), а следовательно, то же самое должно иметь место и для верхних границ обеих совокупностей. Существует, стало быть, также IimXlw=X1, так что числа х1я лежат все ниже опре-и-»00
деленной грани, и в силу уравнения (31), на основании § 1, функции <рй (s) равномерно ограничены и равностепенно непрерывны для всех значений п. Согласно нашей теореме -сходимости можно, следовательно, выбрать такую частичную последовательность (prti, (рЯі, .. „ , которая сходится равномерно к предельной функции ф, (s). Совершив этот предельный переход в уравнении (30) и в равенствах: Jn(y„, (ря)'=х1я и (сря, (Pw) = Ij получим следующие соотношения:
X1(J)1 ОФі (0 dt, (ф^'ф,) = 1, (32)
= (33)
Таким образом функция (J)1 (s) решает задачу о максимуме формы J (tp, tp) и является вместе с тем собственной функцией ядра A-(M). Отсюда непосредственно вытекает, что X1 не может быть нулем, так как J(tp,<p) может принимать положительные значения. Для произвольной функции ф выполняется, стало быть, соотношение
J(4>> ФХМФ, Ф)> (34)
что легко обнаружить нормированием.
2. Совокупность собственных функций и собственных значений. Для того чтобы получить дальнейшие собственные значения и фундаментальные функции, мы поступим следующим образом: Поставим задачу: сообщить интегралу J(<р, tp) максимальное значение, причем на этот раз мы, кроме условия (ср, <р)=1, поставим еще одно дополнительное условие: . ,
(<Р, Фі) — 0. § 4
Симметрические ядра и их собственные значения
117
Мы предполагаем при этом, что при этих двух добавочных условиях форма У((р, <р) еще способна принимать положительные значен'ия. Так как вторым добавочным условием область значений интегральной формы ограничивается по сравнению с областью ее значений в первой
