Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы по возможности сократить главные члены разложения.
Для вычисления бр/р по формуле (4.3) в ц должны быть вычислены так-
же и следующие после выписанных члены разложения. о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 377
быть по предположению малым: бр/р <С 1, И- <С 1 *)• Отсюда следует, что C1Cri0, C2 <1, где Ti0 (т|0 < 1) — значение ті, соответствующее моменту времени Z0. Применяя формулы (4.9) по порядку величины при Т] ~ 1, мы видим, что возмущения остаются малыми даже на верхнем пределе действия этих формул.
Пусть теперь число п настолько велико (возмущения в малых областях пространства), что пх\ 1. В этом случае вычисление? приводит к результату
(С — комплексная постоянная). В X и \i должны быть сохранены оба написанных члена, так как их относительная величина зависит от значения nrf (а не пг\), которое может быть как малым,, так и большим. Появление здесь периодического множителя вполне естественно: при больших п мы имеем дело с возмущением, периодичность которого в пространстве определяется большим «волновым вектором» к = п!а. Такие возмущения должны распространяться как звуковые волны со скоростью и = У dp/d (р/с2) = = с/У 3; соответственно временная часть фазы должна определяться, как полагается в геометрической акустике, интегралом
j kudt = (п/у 3) т|. Амплитуда относительного изменения плотности остается, как мы видим, постоянной; амплитуды же X и р. сначала падают, а затем начинают возрастать. Однако и здесь возмущение не может стать большим вплоть до ті ~ 1 (малость начального возмущения дает для постоянной С соотношение
Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения мира, когда материя разрежена уже настолько, что можно в качестве уравнения состояния выбрать р = 0. Уравнения (4.7) с р = 0, a = а0 (ch ті — 1) полностью интегрируются в элементарных функциях [из первого из уравнений (4.7) вычисляем а затем из вто-
Смешанные компоненты возмущения метрического тензора должны
ь сь
сравниваться с невозмущенными значениями gi Oi, отсюда получается условие X, 1- Шаровые функции Qy и т. д. предполагаются определенными таким образом, что имеют порядок величины единицы.
1/3
(4.10)
I С I п < 1). 378 Е.М. Лифшиц
рого — ?]. В результате вычисления получаются следующие выражения г):
^=-SC1 -Lr (1 -4-cthJ-).
sh -j-
l-F = C1(2«2 + 5)[—Ц-(1—i-cth-f)+!] +
+ C2 (cth-f- -і-cth3 J— A) ; (4.11)
ch
sh2 sh3
Для исследования этих выражений рассматриваем их в двух предельных случаях — больших и малых г\. Малые г\ (т] 1) соответствуют той стадии расширения мира, когда радиус кривизны очень мал по сравнению с его современным значением 2), но все же уже настолько велик, что материя достаточно разрежена (так что можно принимать р = 0). Члены с постоянной C2 дают при малых г\
Эти возмущения затухают со временем как а~3/2 [при р = 0 ж малых г\ радиус кривизны а a (а0/2) rf]. В членах же с постоянной C2 различаем случай небольших п (так что пц 1) и больших п (п\\ 1). В первом случае получим
^=-?-' IT-Ir^2+4W ("tK1)- (4ЛЗ)
При интегрировании в (4.6) постоянные выбраны так, чтобы в обоих рассматриваемых ниже предельных случаях (больших и малых т]) по возможности сократить главные члены.
2) Современное значение ц можно получить из современных значений средней плотности материи р/с2 в пространстве и постоянной а красного смещения (постоянная в соотношении Асо/со = —aZ, где Асо/со — относительное смещение частоты для туманности на расстоянии I). Они выражаются через и (т]) формулами
а' а 1
а = —, хр = а2--
а2 г а2
подставляя a = 5,6-10"26 1/см, р/с2 = IO"30 г/см3 (по Хабблу), получаем Л = 7,8. о ГРАВИТАЦИОННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ МИРА 379
Хотя относительное изменение плотности и растет, однако не становится большим даже при r\ ~ 1 (поскольку C1 1). При больших же п находим
I=-P=CiW^2' T = ci^2C (т«*«1)- (4-14)
Эти возмущения растут со временем как первая степень радиуса и могут стать сравнительно большими. При r\ ~ 1 величины А, |Л, бр/р становятся порядка C1^, между тем как малость начального возмущения требует лишь, чтобы было C1Ti2Tio <С 1- Такое возрастание (в 1/г\о раз), хотя и может быть значительным х), но все же совершенно ничтожно по сравнению с тем, которое могло бы сделать заметными сгущения, возникающие путем термодинамических флуктуаций в областях пространства порядка величины туманностей или даже только звезд.
На поздних стадиях расширения, когда r\ 1, получаем из (4.11)
X = — 2 (п* +1) ClTje"11 — 2С2е-2^, [X = 2 (тг2 + 4) C1T^ + 2С2е~^,
(4.15)
Мы видим, что при больших г\ возмущения метрики затухают, как In а!а или 1 Ia^ [при r\ 1 радиус а a (а0/2) еЩ; относительное же изменение плотности либо стремится к постоянному пределу, либо падает как На.
Наконец, надо исследовать случай уравнения состояния, промежуточного между р = р/3 в.р = 0. Именно, рассмотрим стадию расширения, на которой материя разрежена настолько, что производная dp/dp мала, но все же не может быть положена равной нулю. Для функции а (т]) можно при этом пользоваться той, которая имеет место при р = 0. Введем обозначение и = = У dp/dp для «скорости звука», измеренной в единицах скорости света (и 1). Оценка членов в уравнениях (4.7) показывает, что при ипх\ 1 все члены, содержащие и, могут быть опущены, так что мы возвращаемся к исследованному уже случаю р = 0. Если же ипх\ 1, то наличие членов с и становится, напротив, существенным. Исключение ? из уравнений (4.7) приводит в этом случае к следующему уравнению для
