Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
а ситуации, в которых они могут встретиться, — кратко обсуждены.
Равномерное распределение вероятностей. Это распределение уже упоминалось в предыдущем разделе, где использовалось для иллюстрации; теперь мы обобщим наши представления о нем. На практике равномерное распределение встречается тогда, когда среди принимаемых случайными величинами значений нет каких-либо предпочтительных. В частности, обычно считают, что события, происходящие в произвольные моменты времени (например, испускание частиц радиоактивным веществом) с равной вероятностью могут происходить в любой момент времени. Обычно также полагают, что неизвестная фаза гармоннческого сигнала с равной нероятностью может принимать любое значение в диапазоне 2я радиан. Можно считать, что временное положение импульсов, составляющих периодическую последовательность (например, серию импульсов передатчика РЛС), может с равной вероятностью быть любым внутри интервала, равного периоду, если действительное положение этих импульсов относительно момента начала отсчета неизвестно. Некоторые из таких ситуаций будут рассмотрены в приведенных ниже примерах.
В общем виде равномерная плотность распределения вероятностей записывается в виде
Функцию распределения вероятностей такой случайной величины л<‘| ко получить из плотности вероятностей интегрированием. Н результате имеем
Одно из важных приложений равномерного распределения — описание погрешностей аналого-цифрового преобразования. В ходе *гой операции непрерывный сигнал, который в данный момент иремени может иметь любое значение, преобразуется в двоичное число с определенным количеством разрядов. Поскольку с помощью ограниченного количества разрядов можно представить юлько дискретный набор величин, появляется погрешность преобразования, представляющая собой разность между фактическим
(2.37)
Не составляет труда показать, что
X — (хг -)¦ х.,)/2, а"х -- (х2 - х\У’/12.
(2.38)
(2.39)
(2.40)
значением сигнала и ближайшей дискретной величиной. Процесс аналого-цифрового преобразования поясняется на рис. 2.15. При определении средней квадратической ошибки преобразования предполагают, что она равномерно распределена по интервалу [—Ля/2, Ля/2], где Ля — разность между двумя ближайшими уровнями. Таким образом, из (2.38) получим, что математическое ожидание погрешности равно нулю, а выражение (2.39) приведет к дисперсии, равной (Ля)2/12. С плотностью равномерного распределения вероятностей встречаются и при рассмотрении гармонических сигналов со случайной фазой. Например, если гар-
монический сигнал передается из одного места в другое на некотором расстоянии от первого, то при условии, что длина пути распространения во много раз превышает длину волны сигнала, его фаза в точке приема может с полным основанием считаться случайной. Поскольку трудно указать какую-либо физическую причину, в соответствии с которой нужно было бы одно из значений фазового угла предпочесть другим, обычно предполагают, что фаза распределена равномерно в пределах угла 2л. Для иллюстрации этого положения рассмотрим такой пример: пусть имеется функция времени х (t) = cos (соt — 0). Будем считать фазовый угол 0 случайной величиной с плотностью вероятностей
Г 1/2я, 0 < 0 <; 2я,
/в (0) = | 0) 0 < 0, 9 > 2я.
Из проведенного выше анализа равномерного распределения вероятностей ясно, что математическое ожидание 0 будет 0 = я, а дисперсия а| = я2/3. Необходимо отметить, что с равным успехом область существования может быть задана в пределах от —я до 4~я или в любых других, лишь бы она охватывала 2я. При любом варианте определения диапазона 0 дисперсия фазы не изменяется, однако математическое ожидание будет различным.
Упражнение 2.7.1. Непрерывный сигнал, который с равной вероятностью может принимать любое значение в диапазоне от —10 до +10 В, преобразуется при помощи аналого-цифрового преобразователя в цифровую форму.
а) Сколько дискретных уровней требуется для того, чтобы средний квадрат ошибки равнялся 0,01 В2?
б) Если количество дискретных уровней должно равняться целой степени числа 2, чтобы обеспечить эффективное кодирование уровней в виде двоичных чисел, то сколько уровней потребуется, чтобы средний квадрат ошибки преобразования не превысил 0,01 В2?
в) Чему равен средний квадрат ошибки преобразования при числе уровней, найденном в п. б?
Ответы. 0,003 В2, 142, 256.
Экспоненциальное и связанные с ним распределения. Как было отмечено при рассмотрении равномерного распределения, события с произвольными моментами наступления часто считаются равновозможными. Таким образом, если средний промежуток вре-
