Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
спектр для любого "разумного" импульса, а также приведем несколько
примеров, представляющих большой интерес для различных областей физики.
Импульсы ограниченной длительности. Предположим, что функция ф(?) имеет
форму импульса ограниченной длительности (рис. 6.8): она равна нулю до
момента времени t0 и после момента времени
А)+7\. Таким образом, мы предполагаем, что существует конечный интервал
времени 7\, внутри которого происходят колебания вида ф(0 (см. рис. 6.8).
Величина интервала Ти в общем, произвольна, однако в дальнейшем мы будем
считать ее очень большой (но не бесконечно большой). (Величина v1 - l/T1
будет нашей "единицей частоты", которую мы сможем выбрать сколь угодно
малой.)
В п. 2.3 мы применили фурье-анализ для разложения периодической функции
F(t), определенной для всех t и имеющей период
$ш\
О
Рис 6 8 Импульс т|(/)
Для времен более ранних, чем t0> и более поздних, чем функция ^</)
= 0.
270
Ти так что F(t^rT1)=F(t). Мы умеем также применять фурье-ана-лиз к
функции, определенной в ограниченном интервале времени t. В этом случае
мы строили новую периодическую функцию, определенную для всех t и
совпадающую с исходной функцией на временном интервале, равном периоду.
Продолжив таким образом исходную функцию и сделав ее периодической, можно
применить формулы, выведенные для периодических функций. Здесь мы
поступим точно так же. Образуем периодическую функцию F(t) с периодом Тл\
на каждом периоде F(t) является копией импульса ф (t) (рис. 6.9).
L
untJ. -1-'лЛАДл'--------1-¦¦¦ 1-'л!У\/\л^------------------з-¦-ит.д.
1--------5--------4.--------5--------I
Рис. 6-9. ВДриодическая функция F{t) с периодом Гь полученная
"повторением" импульса ф(0 в последовательные интервалы времени
протяженностью 7\.
Разложение функции F(t) в ряд Фурье определяется выражениями (2.49)-
(2.52) из п. 2.3. Приведем заново результаты, которые нам понадобятся:
со со
F(t) = B0 + S А" sin ikoJ + S Вп cos naj, (73)
П-1 =1
где
а1 = 2п\1 = -^. (74)
Тогда
Bo==~k I F{t)dt' (75)
1 u
<" + t ,
Bn = -~- J F (t) cos najdt, (76)
*0 t0 + T j
An--%- С F (t) sinnco1/ dt, (77)
1 \ J
и
где n=I, 2, 3,... Постараемся применить формулы (73)- (77) к нашей задаче
о представлении функции ф(?) в виде суперпозиции гармонических колебаний.
Заметим, что коэффициент В0 в разложении (73) равен нулю. Действительно,
функция ф(/) равна нулю вне своего интервала Ти а в пределах этого
интервала осциллирует. С физической точки зрения равенство В0=0 означает,
что в системе нет "постоянного смещения" или "постоянного напряжения", т.
е. в общем случае у процесса, заданного функцией ф(0, нет постоянной
составляющей. (Это не означает, конечно, отсутствия таких процессов, для
которых Функция ф(^) имела бы вне Тх не нулевое, а какое-либо конечное
271
значение. Мы просто не рассматриваем сейчас такие случаи. Сила принципа
суперпозиции заключается в том, что он дает возможность не рассматривать
не интересующие нас члены суперпозиции, с той оговоркой, что "мы уже
рассматривали их и позже добавим эти члены в результат".]
Переход от суммы Фурье к интегралу Фурье. Рассмотрим несколько первых
членов в бесконечных суммах разложения (73). Эти члены имеют вид Ai sin
соД+ТД cos ац/, A2 sin 2co1^+52 cos 2cox/ и т. д. Покажем, что эти первые
члены пренебрежимо магы. Из рис. 6.8 мы видим, что у функции ф(/) нет
компонент с периодом большим,1 чем 7\. Искусственно построенная функция
F(t) будет иметь компоненту с периодом Т1. Но так как выбор Т1 произволен
(за исключением особых случаев), то мы можем сделать этот интервал очень
большим, так что соответствующая угловая частота сох= =2я/Г1 будет очень
малой. Константы Аи А2, Ви Вг и т. д. при соответствующем выборе Т1 могут
быть сделаны очень малыми, и ими можно пренебречь. В частности, мы можем
сделать Т1 таким, что первыми несколькими константами Ап и Вп можно
пренебречь. Под "первыми несколькими Ап и Вп" мы подразумеваем, например,
первые десять тысяч членов. Теперь рассмотрим такие п, для которых уже
нельзя пренебречь членами Ап и Вп. Рассмотрим два последовательных члена
в уравнении (73), п н п+1:
F (/) = ... -f Ап sin псох/ -f- Ап+1 sin (no^-f-coj) t-j- . .. (78)
Если Т1 достаточно велико, мы можем предположить, что он столь мало, а п
столь велико, что Ап+1 отличается от Ап на бесконечно малую величину. В
этом случае мы можем заменить цац на непрерывную переменную со и
рассматривать Ап как непрерывную функцию частоты со:
со = /гсо1. (79)
Пусть бсо - приращение со при увеличении п на 8п:
6co = cOj6n, бп = бсо/со1. (80)
Далее, пусть 8п настолько мало, что коэффициенты Ап в диапазоне
от п до п+8п можно считать практически равными. В этом случае мы можем
сгруппировать члены, соответствующие диапазону 8п в уравнении (78),
считая, что все они имеют одинаковую частоту (среднее значение со в
диапазоне бсо). Перепишем разложение (78) следующим образом [используя
равенства (79) и (80)]:
F (t) = ... + 8пАп sin исох/ бсо sin со/ =
