Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
sin //0/sin 0 при 0, стремящемся к нулю. Используя разложение
в ряд Тейлора в точке t=0 и имея в виду, что 0=1/2бсоt, получим
1
Для достаточно малых 0 можно пренебречь всеми членами в разложении, кроме
перзого (это относится как к числителю, так и к знаменателю). Тогда
получим
'(tm){w} = w- <53>
Из (51) следует:
А (0) = ЛМ, А=Ш, (54)
Теперь рассмотрим случай, когда N очень велико. При достаточно большом N
расстояние бсо между соседними гармоническими компонентами станет
настолько малым, что его невозможно будет обнаружить с помощью имеющихся
физических приборов. В этом случае можно считать, что мы имеем
непрерывное распределение гармонических компонент по частоте. Такое М,
при котором зсе вышесказанное справедливо, условно можно называть
бесконечно большим. Для бесконечно большого N можно пренебречь разницей
между N и N- 1. Тогда имеем:
для N бесконечно большого Ы8<лж(М-1) бсо = Дсо. (56)
Таким образом, мы устремляем N к бесконечности, а бсо к нулю, но при этом
их произведение остается равным ширине полосы Дсо. В знаменателе (55),
равном sin 1/28a>t, положим, что бсо стремится к нулю (но t не стремится
к бесконечности, так как импульс обладает определенной длительностью).
Тогда в разложении sin 1/28a>t в ряд Тейлора можно пренебречь всеми
членами, кроме первого. В результате имеем
& (А _ д /гр s'n Vz (УбсоС . sin с/о Аа( - . sin 1/2 Аа>(
А (И -Л(0)Л sm i/a б(0^ - л 1и) дм/, боя ^ ^ >
ф (t) = A (t) cos сосрС (58)
Вернемся теперь к выражению (45) дляф(/) как суперпозиции гармонических
колебаний и перепишем его, имея в виду, что бсо-^0. Используя выражения
(54) и (56), можем записать
<59>
Суперпозиция (45) может быть записана в виде
ф (0 = [5(r) cos со^ + бсо cos (cOj 4- бсо) t + . . .+6cocosco2f]. (GO)
При бсо-э-0 выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл от
cos a>t бсо, взятый в пределах от сох до со2. Поэтому уравнение (60)
примет вид
ш2
costofde". (61)
(c)i
265
Интеграл Фурье. Выражение (61) является примером непрерывной суперпозиции
гармонических колебаний. Его называют также интегралом Фурье.
Оказывается, что любая ("разумная") непериодическая функция ф (t) может
быть представлена (в общем случае) интегралом Фурье:
СО со
ф (t) = J А (со) sin at da> + ^ В (со) cos at da. (62)
о о
Непрерывные функции А (со) и В (со) называются коэффициентами Фурье по
аналогии с коэффициентами разложения в ряд Фурье.
Сравнивая формулы (61) и (62), мы видим, что функция ф(/), определяемая
выражениями (57) и (58), имеет следующие коэффициенты Ф}рье:
Л(л) = 0 для всех со,
В (со) = 0 для со вне интервала (со^юД,
а/ \ А(°) ^ ^
В( a) = --r-L для cot ^ со ^ со3.
(63)
Дсо
Частотный спектр Фурье. График зависимости коэффициентов Фурье от частоты
называется частотным спектром ф(0- Спектр, определяемый выражением (63),
является простейшим частотным спектром. Он постоянен в пределах всего
диапазона частот Дсо и равен нулю вне его. Такой спектр иногда называет
"прямоугольным" в соответствии с его формой. [Заметим, что в общем случае
мы должны рассматривать два графика: один для А (со) и другой для В
(со).]
На рис. 6.6 показана наша функцияф (t) и ее коэффициенты Фурье В (со).
Заметим, что огибающая A (t) первый раз обращается в нуль в t1=2n/Aa.
Это- время, необходимое для равномерного распределения по фазе всех
гармонических компонент в интервале 2л (см. мгновенные стробоскопические
снимки на рис. 6.4). Интервал времени At, когда амплитуда А (t)
относительно велика, можно было бы определить как интервал между
значениями t=-tx и Однако этот интервал слишком.велик и более разумно за
At принять интервал, вне которого амплитуда A (t) никогда не достигает
своего значения в интервале. Для рассматриваемого случая это означает,
что за At можно взять половину интервала между двумя нулями в t=±.t\.
Таким образом, мы можем определить длительность импульса как 9
А^ = ^>
ЭТКуДа Дв Д/= 1. (64)
В уравнении (64) стоит знак равенства вместо знака приближенного
равенства, так как мы точно определили, что подразумевается под
длительностью импульса At. В соответствии с нашим определением A (f) на
концах интервала At равна
Ч4гН<0) ^§^-4-4(0). (65)
266
Таким образом, в начале и в конце интервала At амплитуда A (t) равна 2/л
от своего максимального значения.
Энергия колебаний "почти гармонического осциллятора", смещение которого
равно 'ф {t)=A (t) cos соср/, пропорциональна Л2Й).
Рис. 6.6. Фурье-анализ непериодической функции. о) Импульс ф (t), форма
которого выражается равенствами (57) и (58); б) непрерывный час* тотный
спектр фурье-коэффициентов, определяемый равенствами (63). [Так как ф(/)
- четная функция времени t, Фурье-коэффнц"ент А{т) равен 0 для всех оз.].
Поэтому энергия максимальна в центре импульса (t=0) и уменьшается на
концах интервала At в (2/я)2=0,406 раза. Таким образом, с энергетической
точки зрения At соответствует интервалу, в течение которого осциллятором
выдается около 60% запасенной в нем энергии.
