Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
В п. 6.4 мы рассмотрим другие примеры импульсов и соответствующие им
интегралы Фурье.
267
Пакет бегущих волн. Предположим, что в точке 2=0 "движение" передатчика
похоже на импульс, показанный на рис. 6.6. Так как время, в течение
которого передатчик излучает волны в среду, ограничено и волны
распространяются от передатчика, то они будут представлять собой импульсы
конечной протяженности в пространстве. Такой импульс называется волновым
пакетом или волновой группой. Волновая группа распространяется с
групповой скоростью. Поскольку k и со связаны дисперсионным соотношением
k (со), то существование полосы частот Лео приводит к появлению
соответствующей полосы волновых чисел Ak (и соответственно длин волн) в
волновом пакете. В соответствии с основной частотой со0 будет
существовать и основное волновое число k0=k(a>0) [т. е. k0 получается
подстановкой со = со0 в дисперсионное соотношение k=k(a)]. Полоса Ak
центрирована относительно k0- Ее ширина получается дифференцированием
дисперсионного соотношения в точке со=со0:
[Индекс нуль означает, что производная вычисляется в центре полосы. Мы
пренебрегаем членами более высокого порядка, чем первый, в разложении
дисперсионного соотношения в ряд Тейлора. Уравнение (66) является первым
членом этого разложения.] Произведение длины пакета на ширину полосы
волновых чисел. Пакет длиной Az, распространяющийся с групповой скоростью
iyp, проходит мимо данной точки г за время At. В этом случае имеем
Перемножая правые и левые части уравнений (66) и (67), получим
Так как ЛсоД?^2я, то п Ak Аг^2я. Используя волновое число с=?/2я=Я-1,
имеем
Это соотношение полностью аналогично имеющему общий характер соотношению
AvA/^1, но относится к импульсу в пространстве, а не во времени.
Другой вывод уравнения (69) заключается в рассмотрении неопределенности в
числе циклов колебаний, укладывающихся в Лг. Вашчина а (в циклах на
единицу длины) равна
Отсюда следует, что неопределенность в ширине полосы близка к 1 /Лг. Этот
вывод для координаты аналогичен сделанному выше выводу (44) соотношения
AvA/=l для времени.
(66)
Az ж угр At.
(67)
Ak Az ^ Лео At.
(68)
Да Дг^ 1.
(69)
_ циклы ± !/2
U 2V -------•
(70)
268
"Расползание" волнового пакета со временем. Следует обратить внимание на
то, что если пакет распространяется в диспергирующей среде, то его длина
не остается постоянной. Пакет растягивается по мере распространения.
Причина такого расползания в том, что групповая
скорость ^гр
vrp =d(o/dk зависит от k (или со). Поэтому полоса Ak определяет
соответствующую полосу групповых скоростей Аугр: dv,
ггЛАЛ^
AiVr, =
гр
dk
! d2a>
~\~d№
Волновой пакет
Ak =
Ak. (71)
в момент \
ГлДД/V
/=0 имел длину (Аг)0, вмо мент времени t будет иметь длину (Az)t,
приблизительно равную (Az)t^(Az)0 + (Avrp)t.
(72)
Соответственно увеличится время At, необходимое пакету для прохождения
точки г. [Уравнение (68) справедливо для любого момента времени, так как
Ak и А со - постоянные ветчины .1
Из-за размывания пакета соотношения Аа Аг" 1 и AvA/"l выполняются только
в начальный момент времени /=0. Для того чтобы соотношение AvA/"l было
справедливо, необходимо, чтобы все гармонические составляющие были в
правильной фазе. Это имеет место для t=0. Однако как только пакет начал
распространяться вереде и прошел некоторое расстояние, то из-за дисперсии
среды различные части пакета будут иметь разные скорости и все
составляющие в диапазоне Ak (или А со) не останутся в фазе (в какой-то
точке г), Таким образом, фазы различных частотных компонент
ft
к
Az
Рис. 6.7. Волновой пакет, для которого фазовая скорость в два раза больше
групповой. Стрелки перемещаются с фазовой скоростью, следуя за точкой
постоянной фазы в колебании с доминирующей частотой. Кресты перемещаются
с групповой скоростью. Они следуют за пакетом.
269
будут отличаться друг от друга, и мы получим, что АоАг^ " Av Д?> 1 для 0.
Если же мы имеем дело со средой без дисперсии, то растяжения пакета не
происходит и соотношение АоАг" "?AvA^l сохраняется.
Волновые пакеты в воде. Волновые пакеты, распространяющиеся по кругам на
поверхности воды, можно образовать, бросая в пруд гальку. При некотором
опыте удается следить за распространением групп и наблюдать, как
отдельные-гребни возникают позади группы, проходят через нее и
рассасываются. (Это явление связано с тем, что для длин волн с *,>1,7 см,
возбуждаемых камнем средней величины, фазовая скорость больше групповой.
Картина распространения волновой группы, для которой фазовая скорость в
два раза больше групповой, показана на рис. 6 7.) Мы настоятельно
рекомендуем понаблюдать за распространением волновых групп. Вначале
возникнут некоторые трудности, связанные с довольно большой скоростью
распространения группы, однако усилия будут оправданы. (См. домашние
опыты.)
6.4. Фурье-анализ импульсов
В п. 6.3 мы впервые встретились с представлением функции времени ф(/) в
виде интеграла Фурье. Здесь мы покажем, как найти непрерывный частотный
