Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
имеем следующее дисперсионное соотношение:
для частот, превышающих граничную частоту vp " 20 Мгц. Дифференцирование
уравнения (29) по k дает
Мы видим, что хотя фазовая скорость всегда больше с, групповая скорость
всегда меньше с. Поэтому сигнал не может быть передан со скоростью,
превышающей скорость с.
Пример 5. Поверхностные волны в воде. В состоянии равновесия поверхность
воды горизонтальна. При наличии волн на поверхность воды действует сила,
которая стремится сгладить гребни волн и сделать поверхность воды
плоской. Эта восстанавливающая сила складывается из силы тяжести и силы
поверхностного натяжения. Можно считать, что при длинах волн, больших
нескольких см, преобладает сила тяжести. Для миллиметровых волн
преобладает сила поверхностного натяжения.
Из-за очень малой сжимаемости воды избыток воды в гребне волны
перемещается в соседние области. Поэтому отдельные водяные капли
совершают движение, являющееся комбинацией продольного движения (взад и
вперед) и поперечного движения (вверх и
*) Вернитесь к главе 3, п. 3.5, пример 10.
(27)
(28)
(О2 = СО р + c2k2
(29)
2со"-? = 2 с%
(30)
т. е,
(31)
Фазовая и групповая скорости в этом случае равны
(32)
255
вниз). Если длина волны мала по сравнению с глубиной слоя воды в
равновесном состоянии, мы имеем так называемые волиы в глубокой воде,
когда траектория отдельных водяных капель в бегущей волне представляет
собой окружность. Плавающая на поверхности утка или просто капля воды
будет совершать равномерные круговые движения с радиусом, равным
амплитуде гармонической волны, и периодом, равным периоду волиы. На
гребне волны утка будет иметь максимальную скорость в прямом направлении,
во впадине - максимальную скорость в обратном направлении. Капли воды под
поверхностью совершают движение по окружности меньших радиусов.
Оказывается, что радиус окружностей экспоненциально убывает с глубиной, и
поэтому движение практически полностью затухает на глубине порядка
нескольких длин волн.
Дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде приближенно имеет
следующий вид:
(o2 = gk + ^-k3, (33)
где р" 1,0 г/см3 и Т ж 72 дин/см (коэффициент поверхностного натяжения
воды на границе с воздухом), g=980 см/сек2.
Покажите сами, что когда вклады в со2 от силы поверхностного натяжения и
от силы тяжести равны, фазовая и групповая скорости также равны.
Докажите, что это условие осуществляется для длины волны Я=1,70 см.
Фазовая и групповая скорости при этом равны примерно 23 см/сек. Для длин
волн, много меньших 1,7 см, поверхностное натяжение преобладает, и в этом
случае групповая скорость
Таблица 6.1
Волны в глубокой воде
X, см V, гц 1>ф, см/сек ^гр> см/сек "гр/"ф
0,10 675 67,5 101,4 1,50
0,25 172 43,0 63,7 1,48
0,50 62,5 31,2 44,4 1,42
1,0 24,7 24,7 30,7 1,24
1,7 13,6 23,1 23,1 1,00
2 11,6 23,2 21,4 0,92
4 6,80 27,2 17,8 0,65
8 4,52 36,2 19,6 0,54
16 3,14 50,3 25,8 0,51
32 2,22 71 35,8 0,50
100 1,25 125 62,5 0,50
200 0,884 177 88,5 0,50
400 0,625 250 125 0,50
800 0,442 354 177 0,50
1600 0,313 500 250 0,50
3200 0,221 708 354 0,50
6400 0,156 1000 500 0,50
256
в 1,5 раза больше фазовой. Для длин волн, много больших 1,7 см,
преобладает сила тяжести и групповая скорость равна половине фазовой (см.
задачу 6.19). В табл. 6.1 приведены некоторые параметры для волн в воде
прн длине волн от 1 мм до 64 м.
П р и л о ж е н и е. Рассмотрим пример, в котором использованы данные
табл. 6.1. Предположим, что вы находитесь на морском берегу и хотите
знать длину волны в открытом океане на расстоянии порядка 20-30 миль от
берега.
Засекая время по часам, вы находите, что в среднем о берег разбивается 12
волн в минуту, т. е. v=0,2 гц. Предполагая, что погода не менялась в
течение нескольких дней, можно считать, что волны соответствуют
установившемуся процессу. Поэтому в открытом море v также будет равно 0,2
гц. (Нужно заметить, что длины волн у берега и в открытом море будут
различны, поскольку длина волны зависит от глубины. Однако в
установившихся вынужденных колебаниях частота не будет зависеть от
глубины.) Из табл. 6.1 мы находим, что этой частоте соответствует длина
волны порядка 40 м.
Теперь нас интересует путь, пройденный гребнем, который сейчас
разбивается о берег, в течение предыдущего часа. Будем считать, что
большая часть пути была пройдена по глубокой воде. По табл. 6.1 находим,
что фазовая скорость равна 8 м/сек, или около 29 ООО м/час, т. е. за час
гребень прошел около 30 км.
6-3. Импульсы
Будем рассматривать случай, когда в точке 2=0 возмущение, создаваемое
передатчиком, является суперпозицией большого числа гармонических
колебаний равной амплитуды, частоты которых мало' отличаются друг от
друга и заключены в узком диапазоне частот от самой низкой сох до самой
высокой со,. Мы рассмотрели более простую задачу с двумя частотами и
показали, что в этом случае возникает модулированное колебание, которое
распространяется с групповой скоростью.
Векторная диаграмма. Прежде чем перейти к рассмотрению более сложной
