Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
которого интенсивность звука достаточно велика. Можно сказать, что для
Этой частоты справедливо приближенное равенство v&l/At. Этот пример, как
следует из дальнейших рассуждений, дает нам дополнительное представление
о смысле анализа Фурье.
С некоторым приближением мы можем считать, что воздушная полна давления
длительностью At воздействует на все струны в одно
275
и то же время и в одном направлении. Струны начинают колебаться с
собственными частотами. Те струны, частоты которых малы по сравнению с
1/А/, совершат только часть полного колебания за время действия силы. Эти
струны испытывают ускорение в течение всего времени A/ действия силы.
Струны с периодом, точно равным А/, ускоряются волной давления в течение
первой полуволны длительностью At/2 и тормозятся в течение следующей
полуволны. Замедление и ускорение, получаемые струной за время At/2,
равны по величине, и поэтому после прекращения действия силы струна не
колеблется. Таким образом, струны с собственными частотами от нуля до
значения несколько меньшего, чем 1/Аt, возбуждаются с потожительной
амплитудой. Струна с частотой 1/Аt имеет нулевую амплитуду: эта частота
определяет первый нуль для коэффициента В(со) в выражении (95). Струны с
частотами между 1/А/ и 2/At сделают от одного до двух полных колебаний за
время At. Струна с частотой 2/Аt совершит за это время два полных
колебания и успокоится. Эта частота соответствует второму нулю В(со).
Струна с частотой 1,5/А/ будет вести себя следующим образом: после
окончания первого цнкта колебаний на эту струну в течение первой половины
второго цикла будет действовать сила того же направления. Эта струна
получит 1/3 часть импульса силы, так как она совершает три полуцикла
собственных колебаний, причем вклады от двух из них взаимно уничтожаются.
Струна с частотой собственных колебаний 1/2(1 /А/) за At совершит лишь
полцикла колебаний, а амплитуда ее должна быть в три раза больше, чем для
струны с частотой колебаний v=l,5 (1/А/). Из равенства (95) следует, что
коэффициент 5(со) для со Д/=я действительно в три раза больше, чем для со
Д/=Ззт.
Этот пример показывает, что рояль или аналогичный музыкальный инструмент
можно использовать в качестве частотного анализатора. (.Мы пренебрегаем
тем фактом, что связь воздуха со струнами может и не быть столь
совершенной.) Заметим, что из пианино, используемого в качестве
анализатора, очень трудно получить информацию о фазе колебаний. Однако
для нашего уха фаза не представляет интереса. Это общая ситуация; часто
нас не интересуют коэффициенты А (со) и В(со) по отдельности, так что мы
можем ограничиться интенсивностью /(со) фурье-разложения, которая
определяется следующим образом:
/ (со) = А2 (со) -)- В2 (со). (97)
Дельта-функция времени. Если продолжительность А/ прямоугольного импульса
значительно короче периода колебания наибольшей частоты, который мы можем
обнаружить, то коэффициент В (со) постоянен для регистрируемого нами
диапазона частот. Это утверждение можно пояснить при помощи рис. 6.10.
Если устремить А/ к нулю, то первый нуль функции fi(co) устремится к + оо
и для любой частоты функция 5(со) будет равна 1/я. Импульс, определяемый
функцией (92), называется дельта-функцией времени, если At
276
достаточно мало. Например, наивысшая частота ноты рояля v" "5000 гц, и
поэтому любой звуковой импульс длительностью меньше десятой миллисекунды
будет возбуждать колебания всех струн. Нужно заметить, что с помощью
рояля мы не сможем отличить этот звуковой импульс от звукового импульса,
в десять раз большего по величине, длительность которого на порядок
меньше. В обоих случаях конечный результат движения струн будет одинаков.
П р и л о ж е н и е. Затухающий гармонический осциллятор', естественная
ширина линии. Нас интересует частотный спектр, т. е. "форма линии"
видимого света, испускаемого атомом, среднее время жизни которого порядка
т"10-8 сек. Если бы нас интересовала лишь ширина спектральной линии, то
ее легко определить, и мы знаем, что она порядка 1/т, т. е. 108 гц. Нас
однако интересует большее, а именно детальная форма линии. Будем считать,
что моделью атома является затухающий гармонический осциллятор. Это
значит, что функция ф(^) равна нулю для всех t<t - 0, а при t=0 действует
скачкообразное возмущение и функция имеет вид
(Мы полагаем постоянную амплитуду равной единице, чтобы сократить
вычисления.) Коэффициент затухания обратно пропорционален среднему
времени жизни атома:
Пусть частота колебаний нашей модели атома в отсутствие затухания равна
со0. Мы знаем (см. главу 3), что частота затухающих колебаний сох
следующим образом связана с со0 и Г:
ф (t) = е~1/*Г' cos со^.
(98)
Г= 1/т.
(99)
c°i = шо -1/4Г2.
Выразим равенство (98) с помощью интеграла Фурье:
(100)
00
оо
ф (t) = ^ А (со) sin соЫсо + ^ В (со) cos соМсо. (101)
о
Имеем
00
00
2лЛ(со) = 2 J ф (t) sin atdt = J e~'^ri 2 cos co^ sin cot dt
- GO
0
oo
= J e-'/,r< [sin (и ф-coj t -f sin (co - co^ t\ dt, (Ю2)
