Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
волновая функция ф(г, t) удовлетворяет уравнению (134). Это уравнение в
частных производных называется классическим волновым уравнением для
недиспергирующих волн или просто классическим волновым уравнением.
Волны, сохраняющие свою форму, удовлетворяют классическому волновому
уравнению. Любая бегущая волна, сохраняющая свою форму по мере
распространения, должна удовлетворять уравнению
(134). Предположим, что задано ф (0, t) = f(t) и мы знаем, что волна
распространяется, сохраняя свою форму, т. е.
ф (z,t) = f(f), (135)
Можно показать, что функция ф(г, t), определяемая выражением
(135), удовлетворяет классическому волновому уравнению (задача 6.26).
Очевидно, что любая недиспергирующая бегущая волна, распространяющаяся в
направлении -г, также удовлетворяет этому уравнению. Это видно, если
заменить о на -v в производных. Далее, любая суперпозиция
недиспергирующих бегущих волн, распространяющихся в обоих направлениях,
также удовлетворяет классическому волновому уравнению, поскольку все
члены суперпозиции удовлетворяют ему.
Гармоническая стоячая волна вида
ф(г, /) = 4cos?(z-z0)cosco(^ - ta)
также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда
недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют
уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если Уф = v для всех
частот. (Для стоячих волн иф означает co/k, хотя понятие фазовой скорости
не будет естественным параметром для описания стоячих волн.) Это также
следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена
суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных
направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы
встретились в п. 2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне.
283
Задачи и домашние опыты
6.1. Покажите, что суперпозиция двух гармонических бегущих волн Ai cos
(at-&z+cpi) и Az cos (at-kz~r ф2)> распространяющихся в направлении +z и
имеющих одинаковую частоту ш, представляет собой гармоническую бегущую
волну того же типа. Покажите, что эта сумма может быть записана в виде A
cos (ш^-kz+ ф). Найдите, как А и <р связаны с А1г А2, фх и ф2. (С о-в е
т. Удобно воспользоваться комплексными числами или векторной диаграммой.)
6.2. Рассмотрим электромагнитное излучение в среде с диэлектрической
постоянной е(ш). Положим, что магнитная проницаемость ц= 1. Тогда п(а)=
[е(ш)]1/г. В соответствии с теорией относительности сигнал не может
распространяться со скоростью, большей чем с= 3,0- Ю10 см/сек. Какое
ограничение накладывает это условие на возможную зависимость е от ш?
(Считаем, что е(со) положительно для ьтех ш.)
Ответ. a(dnlda)-\- (п-1)3г0.
6.3. Опыт. Определите приблизительно полосу частот в широковещательном
диапазоне вашего приемника, работающего на AM, поворачивая настроечный
лимб и наблюдая крайние значения шкалы для приема данной станции. Как
согласуется полученный вами результат с тем, что для перекрытия обеих
боковых полос, необходимого для высококачественного воспроизведения
звука, нужна полоса частот Av"b40 кгц?
6.4. Туба (большая басовая труба) может издавать очень низкие звуки,
например звук Сх с частотой 32,7 гц. (Самое низкое С у рояля обозначается
Сг.) На фтейте можно взять очень высокий звук; самая высокая нота у
флейты - это нота С7 с частотой 2093 гц (это на одну октаву ниже самой
высокой ноты рояля). Каждая гота, при равномерной настройке инструмента,
отличается по частоте от предыдущей в 1,06 раза (т. е. иа 6%). На флейте
можно играть очень быстро, на тубе нельзя. Зависит ли это от того, кто
играет на тубе, или от свойств самой тубы? Можно ли переделать тубу так,
чтобы иа ней можно было играть так же быстро, как на флейте? Оцените
максимальную скорость, с которой можно играть на тубе г. районе ноты
С32,7 и иа флейте в районе ноты С2093? Очевидно, вы должны вначале
"запастись" разумным музыкальным критерием, а потом уже решать задачу.
Ответ. 2 ноты/сек для тубы; 120 нот/сек для флейты.
6.5. Человек приносит свой АМ-приемник в мастерскую и жалуется на то, что
настройка недостаточно хорошая. Он хочет, чтобы положение данной станции
было очень "резко" определено на лимбе. Его просьбу удовлетворяют. Через
некоторое время он опять приносит свой приемник. На что он жалуется
теперь?
6.6. а) Одним из способов определения скорости звука в воздухе является
измерение интервала времени между хлопком и эхом от известного
отражателя. Другой способ - это определение длины картонной трубы,
резонирующей па известной частоте (с учетом краевых эффектов). Какая
скорость определяется этими способами: фазовая или групповая?
б) Одним из способов измерения скорости света является определение
времени прохождения прерывающимся лучом известного расстояния от одного
пункта дт другого и обратно (после отражения от зеркала). Другой способ -
это нахождение длины полости, резонансная частота и мода колебаний
которой известны. Какая скорость определяется этими методами: фазовая или
