Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
со
=з ... -f-бсо А (со) sin со/-(- ... = ^ А (со) sinco/dco-f ... (81)
о
Чтобы получить последнее из равенств (81), мы заменили сумму по
последовательности полос с шириной бсо интегралом, а бсо ¦- на более
общий символ da>. Точки (...) в формуле (81) соответствуют
272
второй сумме в (73), а именно 2-(r)(tm) cos п(?> Эту СУММУ также можно
представить в виде интеграла. Окончательно получаем
со
со
F (t) = J А (со) sin со^ da) -f- ^ В (со) cos соЫсо, (82)
о
о
А (со) = A (ncOj) = Лп/сох, В (со) = ?(тох) = Вп/а>1. (S3)
Заметим, что переменная со имеет нижний предел, равный нулю. Это
справедливо потому, что Ап и Вп равны (примерно) нулю при п, близких к
нулю, и поэтому Л (со) и .В(со) должны равняться нулю при со=0.
Из равенств (83) и (77) имеем
В последнем равенстве мы учли тот факт, что интеграл по периоду от
искусственно построенной периодической функции F(t) равен интегралу по
времени от -оо до + оо от непериодического импульса ф (t).
Интеграл Фурье. Мы пришли к выводу, что вместо периодической функции F(t)
можем написать в выражении (82) первоначальную функцию ф(^). Для этой
функции справедливо следующее разложение, которое называется интегралом
Фурье:
Рассмотрим несколько .интересных применений этих формул. Приложение.
Прямоугольный частотный спектр. Пусть функция Л (со) равна нулю для всех
со, а функция В{со) постоянна для со между сох и со2 и равна нулю для
всех других значений со. Выберем постоянное значение 5(со) таким, чтобы
площадь под В(со)
t" + T
Ш1У1 J
и
учитывая, что со17'1=2я, получим
Л (со) = \ F It) s\n Ы dt\
?i J
СО
- СО
со
со
ф (t) - J Л (со) sin соЫсо + jj В (со) cos соt dco, (84)
о
о
где коэффициенты Л (со) и В (со) равны
со
(85)
- со
со
(86)
- со
273
была равна единице, т. е.
5((r)):=Ж для со1<со<со2 = (r)1 + А(r). } (87)
5(со) = 0 для остальных со. J
(Так как В{со) имеет размерность обратной частоты, то функция ф(^) должна
быть безразмерной.) Функция ф (t) вычисляется следующим образом:
СО оо
ф (t) = ^ А (со) sin соМсо -ф J В (со) cos соt da -
U>2
=0+1 ~L
cos atda ¦
sin COt
Дсо Дсо
й,
т. е,
со=со2
CO=(Oi
... sin со2*- sinco^ Sin GV -SincOj/ /ооч
=---------Дш(-------= (CO ,-COi)/ ' (88>
В этом выражении числитель представляет собой суперпозицию двух
колебаний, которая дает модулированное колебание с частотой модуляции
(со2 - cot)/2. Знаменатель содержит множитель t, благодаря которому ф(^)
имеет наибольшее значение при t=0. Представим выражение (88) в виде почти
гармонического колебания со средней частотой со0 и с медленно
изменяющейся амплитудой:
(r)о = 1!i ((r)2 -f- (r)i)i = Х/г ((r)2 (r)i)> \ C89i
со2 = со0 +1/2 Асо, (c)! = "" - V2Aco; j
sin ф2 ДаУ
_ sin (cop + V2 Aco) t - sin (co0 - V, Aco) t ^ ' ДоУ
V2A at
cosco0(. (90)
Таким образом, ф(^) представляет собой "быстрое" колебание с медленно
изменяющейся амплитудой Ait):
ty{t) = A{t)cos a0t, A(t)= (91)
Результат, представленный равенством (91), аналогичен результату,
полученному в п. 6.3 для суперпозиции N гармонических колебаний, частоты
которых равномерно распределены между границами интервала сох и со2. Если
перейти к пределу, устремив N к оо, мы получим разложение (91). (См.
формулы (57) и (58), п. 6.3.) Импульс ф(0 и его преобразование Фурье
показаны на рис. 6.6.
П р и л о ж е н и е. "Прямоугольный" временной импульс. Пусть функция ф(0
равна нулю всюду, кроме промежутка At, центрированного относительно U и
простирающегося от до (2. В этом промежутке функция имеет постоянное
значение, которое выбрано таким, чтобы интеграл от ф(^) по t был равен
единице:
= (1</</2 = (1+АС (92)
Найдем коэффициенты Фурье Л (со) и 5(со) для функции ф (t).
274
Если /о=0, то ф (t)- четная функция времени, и поэтому Л (со) должно
равняться нулю (так как sin со/-нечетная функция). Если ифО, то мы должны
вычислять как Л (со), так и 5(со). Мы всегда можем облегчить вычисление,
сместив ось времени, т. е. заменив t на t- ta. Так как ф(?) - четная
функция от t- U, то мы имеем
где
ф (t) = J В (со)cosa(t- tQ)dtt>, о
00
5(co) = -i- ^ ф (t) cos a>[t- t0)dt.
- zc
ое инте
В И 1/2Д< ш
(93)
(94)
Произведя это несложное интегрирование (задача 6.20), мы получим
1 sin VSA< СО
Прямоугольный импульс [функция (92)] и его фурье-коэффициент 5(со)
показаны на рис. 6.10. Заметим, что если мы определяем Дсо
_П
^(tj
At
а)
Рис. 6.10. Прямоугольный импульс ) (/) и его фурье-коэффициент В (со).
как интервал, простирающийся от минимальной частоты (которая равна нулю)
до частоты, соответствующей первому нулю в коэффициенте fi(co), то имеем
ДсоД^ = 2я, AvA/=l. (96)
Фурье-анализ хлопка с помощью рояля. Предположим, что мы хотим оценить
длительность звука от хлопка руками. У нас нет ни микрофона, ни усилителя
звуковых частот, ни осциллографа, но в нашем распоряжении находится
рояль. Нажав на демпфирующую педаль (освободив тем самым все струны),
расположим руки под поднятой крышкой рояля и хлопнем в ладоши. Рояль
будет играть роль частотного анализатора. Оцените наивысшпй тон, для
