Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
излучение. Снимая зависимость Р от со, можно найти со0 и Г,
3. Фурье-анализ испускаемого спектра. Выполним фурье-ана-лиз излучения
для системы, внезапно приведенной в возбужден-
280
ное состояние. Это возможно как для струны рояля, так и для некоторых
возбужденных состояний атома, если измерять частоты испускаемого атомом
света. Легче всего измерить интенсивность излучения в зависимости от
частоты. Эта величина пропорциональна интенсивности /(со), получаемой из
фурье-анализа. Зная функцию /(со), мы можем получить частоту со0 и ширину
полосы Г. На рис. 6.11 показаны затухающие колебания гармонического осцил
лятора и коэффициенты Фурье Л (со) и 5(со). Для того чтобы в произведении
ширины полосы на интервал времени Дсо Д1 ^ 2л получить точное равенство,
мы должны определить длительность At как произведение 2л на среднее время
жизни т. Тогда равенство (120) примет вид Дсо Д1=2я.
6.5. Фурье-анализ бегущих волновых пакетов
Предположим, что передатчик в точке z=0 воздействует на непрерывною,
однородною, одномерную открытую систему таким образом, что волновая
функция ф(г, t) бегущих волн в точке z=0 имеет известною зависимость от
времени f{t)\
ф(0 ,t) = f(t). (121)
Любая "разумная" функция f(t) может быть представлена суперпозицией
гармонических колебаний. Если f(t) не периодическая функция времени, то
суперпозиция непрерывна (по частоте) и выражается через интеграл Фурье:
СО
f (0 - § И (ш) sin col + 5 (со) cos col] dco. (122)
о
Бегущие волны в однородной диспергирующей среде. Каждая гармоническая
составляющая суперпозиции (122) определяет свою собственную гармоническую
бегущую волну с волновым числом k, значение которого следует из
дисперсионного соотношения
6 = 6 (и). (123)
Каждая частотная составляющая бегущей волны распространяется
со своей собственной фазовой скоростью
v<s> = k (со)'
Вся бегущая волна ф(г, t) является суперпозицией этих гармонических
бегущих волн. Это значит, что мы получим ф(г, t) и ф(0, t) заменой соt на
col ¦-kz=at-k(a>)z в каждой гармонической составляющей суперпозиции
(122):
00
ф (О, 1) = J [А (со) sin col -\-В (со) cos col] dco, (125)
O)=0
00
ф(г, 1)= J {Л (со) sin [col- k (со) z] -f- В (со) cos [col-k( co)z]}dco.
O) = 0
(126)
281
В общем случае диспергирующих сред фазовая скорость уф зависит от частоты
со. Поэтому форма ф(г, t) не остается постоянной с течением времени.
Недиспергирующие волны (специальный случай). Для особого случая, когда
фазовая скорость аф не зависит от частоты, волновая функцияф(г,
1)имеетодну и ту же форму для всех t. Этот результат можно получить из
общего выражения (126) следующим образом. Пусть v - фазовая скорость,
одинаковая .для всех гармоник:
т. е. &(со) = -^. (127)
* (QJ) ' У ' V
Тогда уравнение (126) примет вид 00
ф(г, 0 = ^ Д (со) sin со ^^ ф-В (со) cos со [j - dco, (128) о
где v постоянна (по предположению), т. е. не зависит от частоты. Мы
видим, что каждый член суперпозиции (128) получается из суперпозиции
(125), соответствующей ф(0, t), простой заменой 1вф(0, /) на t- (z/v).
Таким образом, для недиспергирующих волн имеем
ф(г, 0=^(0. О, <129>
Заметим, что в этом случае нет необходимости иметь дело с преобразованием
Фурье. Зная ф(0, t), мы всегда сможем получить ф(г, /), используя
равенство (129). Смысл этого равенства заключается в том, что бегущая
волна в недиспергирующей среде не изменяет свою форму. Это значит, что
смещение (или электрическое поле, или какой-нибудь другой параметр) в
какой-то точке имеет то же значение во время t, что и смещение в z = 0 во
время t-(z/v).
Примером недиспергирующих волн являются, например, слышимые звуковые
волны или волны света в вакууме. Пусть в точке z=0 смещение равно
ф (0, *) = Де-(,/*)<,/т*. (130)
Выражение (130) представляет собой импульс в форме гауссовской кривой. Он
имеет максимум при 1 = 0 и очень быстро уменьшается для КО и t>0
(уменьшение практически до нуля происходит в пределах нескольких значений
т). Мы могли бы применить преобразование Фурье к уравнению (130), однако
в этом нет необходимости, поскольку, по предположению, среда
недиспергирующая, и мы можем сразу же написать выражение для бегущей
волны:
ф(г, 1) = Ф(0, 0 = Ле-(,/,>(О,л, = Де-э7,)[М*л>)]*/т\ (131)
Недиспергирующие волны, и классическое волновое уравнение. Любая
гармоническая бегущая волна вида
ф(г, t) = A cos [col-k(a>) z] (132)
удовлетворяет (покажите это) дифференциальному уравнению
d2ip (г, t) ш2d2ip(z,t) а ( (г, t) mo\
~W-! ~~k* dz* " " (С0) ~"Тг~ •
282
Для специального случая (недиспергирующих волн) имеем Уф=Щ т. е. скорость
постоянна и не зависит от частоты. В этом случае каждый член в
суперпозиции бегущих гармонических волн [см., например, разложение (128)]
удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению:
д2ф (г, /) _ д2ф (г, /) Щ2 dz2 '
(131)
где через ф (г, t) обозначена любая из гармонических бегущих волн
суперпозиции (128). Так как каждый член суперпозиции (128) удовлетворяет
уравнению (134), то оно справедливо и для всей суперпозиции, т. е. общая
