Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
о
00 00
2л5(со) = 2 J ф (t) cos at dt = J e~lt*vt 2 cos co^cos at dt =
00
= J [cos (co -j- cot) t + cos (co - cot) t] dt.
(103)
о
277
В любой таблице определенных интегралов мы найдем
оо
§е~ах sin Ьхс1х = щ-^, (104)
О
00
cosbxdx = ^-^. (105)
о
Равенства (102) и (103) дают
n"/i/"N (со-L-ац) , (со -top
2лА(а>) (m + mi)* + (vgr)* + (m-mi)* + (i/,r)* " (106)
2лВ(<й)=г , , п, г,. +7 ^гттт-^г- (107)
V ' (w+Wi)2 + (V2r)2 1 (со - ш^ + С'/аГ)2 v 1
Воспользуемся равенством (100) для замены со)* на cojj. После ряда
преобразований получим
2-4 (и) - 2"(f-"f) + <lirt-, (108)
V ' (ш? - ш2)2 + Г2ш2 V '
2пВ (СО)^ -r("- +jlrv, (109)
(С0о - СО2) +Г2С02
/ <") _ [2я4 WJ> + [2яв (",)]¦ = . (ПО)
Сравнение свободно затухающего колебания с вынужденным колебанием.
Интересно сравнить полученные результаты частотного фурье-анализа
колебаний свободно затухающего гармонического осциллятора с результатами
частотного анализа установившихся вынужденных колебаний. Приведем
результаты, которые были получены для такой системы в п. 3.2 [равенства
(3.17) и (3.32) - (3.35)]:
Лд(") = Ж (ш^^ + Рш*'" (1И)
Лп((r))=-дГ (Ш2_Ш2)2+Г2Ш2 > (112)
1 А |2 = [А (со)]2 -)- [Ап(со)12 = ]---------, (1131
1 1 Д V / J ~ L П V М2 +Т2(^2 > V
n / \ 1 Гсо2 /1 1 4 \
P(")=T ~М (Ш0'_Ш2)2 + Г2Ш2 * (1И)
i V2 ('С02 + С02')
?(И) = 1? (0)2 -0)2)2 _)_Г2С02 • (115)
Сравнивая эти выражения с формулами (108) и (109), мы видим, что
коэффициент В(со) для затухающих колебаний пропорционален запасенной
энергии Е(со) вынужденных колебаний. Коэффициент А (со) для затухающих
колебаний состоит из двух слагаемых: одно из них пропорционально
соАд(со), а второе пропорционально
278
Л "(со). При достаточно слабом затухании слагаемое, пропорциональное Лп,
пренебрежимо мало, за исключением значений со, очень близких к резонансу
со0; поэтому Л(со) в этом случае практически пропорционально соЛд(со).
Интенсивность /(со), определяемая как Л2(со)+52(со), состоит из двух
частей: одна часть пропорциональна поглощаемой мощности Р(со), а вторая
часть, при достаточно слабом затухании, т. е. при Г2 со2, пренебрежимо
мала. Поэтому можно считать, что интенсивность /(со) для свободного
затухания практически пропорциональна поглощаемой мощности Р(со) для
вынужденных колебаний.
J1оренцевская форма линии; связь с резонансной кривой. В случае слабого
затухания для со, близких к со0, коэффициент В (со) и интенсивность /(со)
пропорциональны функции L(co):
Z. (со) =----^ ),¦ - - . (116)
Эта функция называется лоренцевской формой линии. Коэффициент затухания Г
равен величине интервала частот, внутри которого L(co)>V2L(co"). Этот
интервал частот называется шириной линии Лео частотного спектра,
описывающего затухающие колебания:
(Л со)3. к = Г. (117)
Лоренцевская форма линии (116) совпадает с брейт-вигнеровской резонансной
кривой R(со), которая дает (для слабого затухания) частотную зависимость
величин Лп(со), |Л|2, Е(со) и Р(а>) при вынужденных колебаниях [равенство
(3.36), п. 3.2)]:
(И")
Полная ширина резонанса на уровне половины максимального значения равна
(Лсо)рез = Г. (119)
Таким образом, мы пришли к замечательному выводу, что для слабо
затухающего гармонического осциллятора (который мы взяли в качестве
модели излучающего атома) преобразование Фурье дает ту же частотную
зависимость, что и резонансные характеристики вынужденных колебаний:
(120)
Измерение собственной частоты и полосы частот. Тот факт, что фурье-
преобразование для затухающих свободных колебаний совпадает с резонансной
кривой для установившихся вынужденных колебаний, имеет важные
экспериментальные следствия. Допустим, что мы хотим определить а) первую
моду рояльной струны и б) энергию первого возбужденного состояния атома,
(Лсо)з. к (Дч>)рез
13. К
279
Рассмотрим три способа, которыми это можно сделать:
1. Временная зависимость свободных колебаний. В зависимости от того, с
какой из двух систем мы имеем дело, мы можем воспользоваться либо
молоточком рояля, либо столкновением атома с другим атомом для внезапного
возбуждения Системы в момент i=0. Произведя скоростные фотоснимки
движения затухающего осциллятора, мы можем построить график смещения в
зависимости от времени. Это возможно для рояльной струны, но для атома
невозможно, даже в принципе. (В томе "Квантовая физика" будет показано,
почему это невозможно.)
2. Резонансная характеристика вынужденного колебания. Пусть в
установившемся режиме на систему воздействует гармоническая сила F0 cos
соt. Будем менять частоту внешней силы и измерять поглощаемую мощность
Р(со) как функцию частоты. Это можно
%Вг
0,5
Л1=0
-0J5
Рис. 6. II. Слабо затухающий гармонический осциллятор. а) Импульс Ф (О -
ехр[ -1/'2^/т] cos a>t при = 8лГ, т. е- т~47\; б) фурье-коэффпциенты для
непрерывной суперпозиции гармонических членов.
J*[2l(o)) sin -В(ш) cos otf] da>.
сделать не только для струны рояля, но и для некоторых возбужденных
состояний атомов, если на них действует установившееся электромагнитное
